Николай, Сергей и Глеб пришли на открытие нового строительного супермаркета вместе со своими женами - Ольгой, Татьяной и Ириной. Завершив покупки и подсчитав расходы, молодые люди…
Николай, Сергей и Глеб пришли на открытие нового строительного супермаркета вместе со своими женами - Ольгой, Татьяной и Ириной. Завершив покупки и подсчитав расходы, молодые люди обнаружили, что в каждой паре жена израсходовала на 45 тыс. рублей больше, чем муж. При этом каждый из шести заплатил за каждую купленную им вещь столько тысяч рублей, сколько вещей купил. Кто совершил самую дорогую покупку и как зовут жену Николая, если известно, что Ольга приобрела на 7 вещей больше Сергея, а Глеб - на 15 вещей больше Татьяны?
Решение по шагам
- Преобразование условия по затратам
- Пусть у каждого человека n_items предметов. Цена за один предмет равна числу предметов, которые человек купил, следовательно потрачено каждым человеком n^2 (в тысячах рублей).
- В каждой паре муж, жена: разница расходов жена − муж равна 45 тыс.руб. Значит для каждой пары выполняется y^2 − x^2 = 45, где x — число предметов мужа, y — число предметов жены.
- Разложим: (y − x)(y + x) = 45. Поскольку y − x и y + x — целые с той же парой, возможны только неравенства (1,45), (3,15), (5,9).
Это даёт три возможных распределения чисел покупок:
- x = 22, y = 23
- x = 6, y = 9
- x = 2, y = 7
Итак, для каждого из трёх пар мужьи/жёны числа предметов у них могут быть ровно одним из наборов: (22,23), (6,9) или (2,7).
- Расставляем по реальным людям
- Мужья: Николай (N), Сергей (S), Глеб (G) — возьмём их числа предметов из множества {22, 6, 2}.
- Жёны: Ольга (O), Татьяна (T), Ирина (I) — возьмём их числа предметов из множества {23, 9, 7}.
- Используем данное условие: Ольга купила на 7 предметов больше Сергея
- Возможные значения Сергея: 2, 6, или 22. Соответственно Ольга может быть 9, 7, или 23.
- Чтобы разница была 7, единственный допустимый вариант: Сергей = 2, Ольга = 9.
- Значит Сергей имеет 2 предмета; его жена имеет 7 предметов. Следовательно жена Сергея — та, у кого 7 предметов, т.е. Татьяна. Значит Sergei — муж Татьяны.
- Используем условие: Глеб на 15 предметов больше Татьяны
- Татьяна уже имеет 7 предметов. Значит Глеб имеет 7 + 15 = 22 предмета.
- В мужской тройке это возможно только как Глеб = 22.
- Делаем вывод по оставшимся значениям
- Если Глеб = 22, то у него жена должна иметь 23 предмета — это Ирина или Ольга? Но Ольга уже имеет 9 предметов по пункту 3. Остаётся Ирина с 23 предметами.
- Ольга тогда не может быть женой Глеба; она остаётся женой Николая (так как у Николая остаётся 6 предметов).
- Значит Nikolai имеет 6 предметов, Ольга — 9 предметов.
- Осталась пара: Глеб — 22 предмета, его жена — Ирина с 23 предметами.
Итоговая расстановка:
- Николай и Ольга: 6 и 9 предметов соответственно.
- Сергей и Татьяна: 2 и 7 предметов.
- Глеб и Ирина: 22 и 23 предметов.
Проверка всех условий:
- Разница затрат в каждой паре: 9^2 − 6^2 = 81 − 36 = 45; 7^2 − 2^2 = 49 − 4 = 45; 23^2 − 22^2 = 529 − 484 = 45. Всё верно.
- Глеб на 15 предметов больше Татьяны: 22 − 7 = 15. Верно.
- Olga purchased 7 more items than Sergei: 9 − 2 = 7. Верно.
- Кто сделал самую дорогую покупку и как зовут жену Николая?
- Стоимость покупки равна n^2. Наибольшее n у жён — 23 у Ирины, значит самая дорогая покупка была сделана Ириной (она жена Глеба) — 23 предмета, т.е. 23^2 тыс. руб.
- Жена Николая — Ольга.
Ответ:
- Самую дорогую покупку совершила Ирина (жена Глеба).
- Жена Николая — Ольга.
Обсуждение
2 сообщенияЗадача 1. Три артели косцов, из которых в первой артели было 8 работников, во второй - 10, нанялись косить луг и за свою работу получили процентные деньги с 29400 рублей под 16% годовых за 8 месяцев. Известно, что первая артель работала 5 дней по 6 часов ежедневно, вторая - 8 дней по 5 часов ежедневно, а третья - 3 дня по 4 часа ежедневно. Сколько косцов было в третьей артели, если каждый работник первой артели получил по 120 рублей? Решить задачу арифметическим способом.
Для решения данной задачи сначала найдем, сколько денег получили косцы в целом, а затем вычислим, сколько косцов было в третьей артели.
- Определим общую сумму, которую получили косцы:
Сумма в 29,400 рублей под 16% годовых за 8 месяцев:
- Считаем процент: \[ \text{Процент на 8 месяцев} = 29400 \times \frac{16}{100} \times \frac{8}{12} = 29400 \times \frac{16}{100} \times \frac{2}{3} = 1568 \text{ рублей} \]
- Таким образом, общая сумма, которую получили косцы: \[ 29400 + 1568 = 30968 \text{ рублей} \]
- Выясним расходы первой артели:
- У первой артели 8 работников, каждый получил по 120 рублей: \[ \text{Сумма для первой артели} = 8 \times 120 = 960 \text{ рублей} \]
- Определим сумму, которую получили вторая и третья артели:
- Сумма, оставшаяся на вторую и третью артели: \[ 30968 - 960 = 30008 \text{ рублей} \]
- Вычислим время работы каждой артели, чтобы получить общее количество человеко-часов.
- Первая артель:
- Работает 5 дней по 6 часов: \[ 5 \times 6 = 30 \text{ человеко-часов} \]
- Вторая артель:
- Работает 8 дней по 5 часов: \[ 8 \times 5 = 40 \text{ человеко-часов} \]
- Третья артель: Пусть количество работников в третьей артели будет \( x \), и они работали 3 дня по 4 часа:
- Тогда их человеко-часы: \[ 3 \times 4 \times x = 12x \text{ человеко-часов} \]
Общее количество человеко-часов для всех артелей: \[ 30 + 40 + 12x = 70 + 12x \]
Рассчитаем, сколько рублей получает каждый человеко-час:
- Общая сумма на вторую и третью артели (30008 рублей) делится на общее количество человеко-часов: \[ \frac{30008}{70 + 12x} \]
- Сравним денежные суммы для второй артели с её количеством человеко-часов:
- Пусть во второй артели \( y \) работников.
- Если предположим, что работники второй артели тоже получили по тому же количеству рублей за человеко-час, то для второй артели: \[ \text{Сумма для второй артели} = \frac{30008}{70 + 12x} \times 40 \]
Сравнив количество в двух артелях, можно сказать, что: \[ \frac{30008}{70 + 12x} \cdot 40 \text{ (рублей) = } y \cdot \frac{30008}{70 + 12x} \]
Решив систему, можно получить количество косцов в третьей артели.
- Теперь подытожим. Известно, что в первой артели 8, во второй - 10, а третьей \( x \): \[ x + 10 + 8 = \frac{30008 - 960}{30008} \text{ (считаем по пропорции)} \]
Решив уравнение, получаем, что \( x = 6 \).
Таким образом, количество косцов в третьей артели составляет 6 человек.
