Сколькими способами можно представить число 180 в виде произведения трёх натуральных чисел? ( порядок чисел важен). объясни для 7 класса
Задача: найти сколько существует упорядоченных троек натуральных чисел (a, b, c), таких что a · b · c = 180. Поясню пошагово для 7 класса.
Разложим 180 на простые множители 180 = 2^2 · 3^2 · 5^1.
Идея решения Каждое из трех чисел a, b, c получает часть степеней от каждого простого множителя. Например, для двоек (2^2) можно так распределить две «копии» двойки между a, b, c: (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1). Это значит, есть 6 способов распределить степень 2 между a, b, c. Аналогично для тройки степеней троек (3^2) тоже 6 способов. Для пятерки (5^1) есть 3 способа распределить одну копию 5 между a, b, c: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
Сколько всего троек Так как распределения для разных простых независимы, количество троек равно произведению количеством распределений по каждому простому:
- для 2^2: 6 способов
- для 3^2: 6 способов
- для 5^1: 3 способа
Итого: 6 · 6 · 3 = 108.
Что это значит Каждое сочетание распределений дает одну конкретную тройку (a, b, c). Поскольку порядок важен, разные перестановки одной и той же трои считаются разными вариантами.
Пример Возьмем распределения: — для 2^2: (1,1,0) значит a и b получают по одной двойке, c — нет двойки; — для 3^2: (0,1,1) значит b и c получают по одной тройке; — для 5^1: (0,0,1) значит только c получает пятерку. Тогда a = 2^1 · 3^0 · 5^0 = 2 b = 2^1 · 3^1 · 5^0 = 2·3 = 6 c = 2^0 · 3^1 · 5^1 = 3·5 = 15 И действительно 2 · 6 · 15 = 180.
Ответ: существует 108 различных упорядоченных троек натуральных чисел (a, b, c), таких что a · b · c = 180.
