логарифм (х-3) по основанию 1/2 + логарифм (9-х) по основанию 1/2 больше или равно -3

Цель: понять и решить неравенство.

Задача: log_{1/2}(x − 3) + log_{1/2}(9 − x) ≥ −3.

1. Определим область допустимых значений (аргументы логарифмов должны быть > 0):

• x − 3 > 0 → x > 3
• 9 − x > 0 → x < 9 Итого: 3 < x < 9.

2. Объединим логарифмы одинакового основания: log_{1/2}(x − 3) + log_{1/2}(9 − x) = log_{1/2}((x − 3)(9 − x)).

Задача превращается в: log_{1/2}((x − 3)(9 − x)) ≥ −3.

3. Поскольку основание логарифма 1/2 ∈ (0, 1), логарифм убывает. Значит: log_{1/2}(t) ≥ −3 при t ≤ (1/2)^{−3} = 8. Где t = (x − 3)(9 − x).

Следовательно, требуется: (x − 3)(9 − x) ≤ 8, при 3 < x < 9.

4. Раскроем левую часть: (x − 3)(9 − x) = −x^2 + 12x − 27. Уравнение (для равенства) −x^2 + 12x − 27 = 8 даёт: −x^2 + 12x − 35 = 0 ⇒ x^2 − 12x + 35 = 0 ⇒ (x − 5)(x − 7) = 0. Значит, корни x = 5 и x = 7. Поскольку левая часть — парабола с отрицательным коэффициентом при x^2, неравенство (x − 3)(9 − x) ≤ 8 выполняется при x ≤ 5 или x ≥ 7.

5. Совмещаем с областью 3 < x < 9: 3 < x < 9 и (x ≤ 5 или x ≥ 7) gives:

• (3, 5] и
• [7, 9)

Итого решение: x ∈ (3, 5] ∪ [7, 9).

Проверка на концах:

• В точках x = 5 и x = 7 левый множитель равен 8, значит логарифм суммы равен −3, что удовлетворяет неравенству.
• Внутри промежутков условия выполняются, за пределами (например, между 5 и 7) не выполняются.

Ответ: x ∈ (3, 5] ∪ [7, 9).