Задача: доказать, что векторы a, b, c комланарны.
Данные:
a = i + 2j + 2k = (1, 2, 2)
b = 2i + 5j + 7k = (2, 5, 7)
c = i + j − k = (1, 1, −1)
Способ 1. Тройное произведение (проверка на компланарность)
- Вычислим векторное произведение b × c:
b × c = (b_y c_z − b_z c_y, b_z c_x − b_x c_z, b_x c_y − b_y c_x)
= (5·(−1) − 7·1, 7·1 − 2·(−1), 2·1 − 5·1)
= (−12, 9, −3)
- Теперь скалярное задание a · (b × c):
a · (b × c) = 1·(−12) + 2·9 + 2·(−3) = −12 + 18 − 6 = 0
- Так как a · (b × c) = 0, тройной произведение равно нулю, значит векторы a, b, c лежат в одной плоскости (комланарны).
Способ 2. Представление c через линейную комбинацию a и b
- Пусть c = x·a + y·b. Тогда по координатам:
x + 2y = 1
2x + 5y = 1
2x + 7y = −1
- Из первых двух уравнений получаем x = 3, y = −1 (проверяем третье: 2·3 + 7·(−1) = 6 − 7 = −1, что совпадает).
- Значит c = 3a − b. Следовательно, вектор c лежит в линейной оболочке векторов a и b, то есть все три вектора лежат в одной плоскости, проходящей через начало координат.
Вывод: векторы a, b, c комланарны (они лежат в одной плоскости). В частности, c = 3a − b.
