Дан треугольник ABC. плоскость, параллельной прямой AB, пересекает сторону AC этого треугольника в точке A1, а сторону BC-в точке B1. найдите длину отрезка A1B1, если AB =15см, AA1: AC=2:3 2.через вершины параллелограмма ABСД, лежащего в одной из двух.

Ответ: 5 см Пошаговое решение: 1) В описании сказано, что A1B1 ∥ AB, где A1 лежит на AC, а B1 на BC. Значит треугольники CA1B1 и CAB подобны (соответствуют C↔C, A1↔A, B1↔B). 2) По подобию получаем соотношение CA1/CA = A1B1/AB. 3) Дано AA1:AC = 2:3. Это означает AA1 = (2/3)AC, значит CA1 = AC − AA1 = AC − (2/3)AC = (1/3)AC. Следовательно CA1/CA = 1/3. 4) Из п.2: A1B1/AB = CA1/CA = 1/3. Следовательно A1B1 = AB · (1/3) = 15 · (1/3) = 5 см. Дополнительно можно проверить координатно: пусть A=(0,0), B=(15,0), C=(0,h). Тогда A1=(0,(2/3)h), прямая A1B1 параллельна AB (горизонтальная), пересекает BC в B1 с координатами (5,(2/3)h). Тогда A1B1 = 5 по оси x, что совпадает с полученным ответом. Примечание: последняя часть задачи про параллелограмм ABCD не влияет на решение данного пункта.