отрезок АВ длины а разделён точками P и Q на 3 отрезка AP, PQ и QB так,что AP=2PQ=2QB. найдите расстояние между А) точкой а и серединой отрезка QB Б) середина отрезка AP и QB

Решение для Геометрии, 7-й класс. Цель: понять решение пошагово.

Дано: отрезок AB длины a делится точками P и Q на три отрезка AP, PQ, QB такие, что AP = 2·PQ = 2·QB.

1. Найдём соотношения длин отрезков

• Пусть PQ = x. Тогда AP = 2x и QB = x (поскольку AP = 2·PQ и AP = 2·QB, значит PQ = QB).
• Общая длина AB: AP + PQ + QB = 2x + x + x = 4x.
• Отсюда x = a/4. Следовательно:
  • AP = 2x = a/2
  • PQ = a/4
  • QB = a/4

2. Расположение точек на числовой прямой Положим A в точке 0, B в точке a. Тогда:

• P будет на расстоянии AP от A: P в точке a/2.
• Q будет дальше на PQ: Q в точке a/2 + a/4 = 3a/4.

3. (A) Расстояние от A до середины QB Середина QB — это точка между Q и B. Координата середины QB: M_QB = (Q + B)/2 = (3a/4 + a)/2 = 7a/8. Расстояние A–M_QB равно просто модулю разности координат: |M_QB − A| = 7a/8.

Ответ (A): 7a/8.

4. (B) Расстояние между серединами AP и QB

• Середина AP: M_AP = (A + P)/2 = (0 + a/2)/2 = a/4.
• Середина QB уже найдена выше: M_QB = 7a/8. Расстояние между ними: |M_QB − M_AP| = 7a/8 − a/4 = 7a/8 − 2a/8 = 5a/8.

Ответ (B): 5a/8.

Итого:

• А): расстояние A до середины QB = 7a/8.
• Б): расстояние между серединами AP и QB = 5a/8.