x^2-4x≥0

Задача: x^2 - 4x ≥ 0

Подход 1. Факторизация и числовая сигнатура

• Перепишем неравенство в виде произведения: x^2 - 4x = x(x - 4).
• Значимые точки (критические): x = 0 и x = 4.
• Разбиваем по интервалам: (-∞, 0], (0, 4), [4, ∞).
• Анализ знаков произведения:
  • При x < 0: x отрицательно, (x-4) отрицательно → произведение положительное.
  • При 0 < x < 4: x положительно, (x-4) отрицательно → произведение отрицательное.
  • При x > 4: оба множителя положительны → произведение положительное.
  • В точках x = 0 и x = 4 произведение равно нулю.
• Следовательно, решение: (-∞, 0] ∪ [4, ∞).

Подход 2. Дополнительный способ через квадратичную форму

• x^2 - 4x ≥ 0 → (x - 2)^2 - 4 ≥ 0 → (x - 2)^2 ≥ 4.
• Это эквивалентно |x - 2| ≥ 2 → x ≤ 0 или x ≥ 4.
• Опять получаем: (-∞, 0] ∪ [4, ∞).

Проверка примерами

• x = -1: (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 ≥ 0 (правильно в řeшении).
• x = 2: 2^2 - 4·2 = 4 - 8 = -4 < 0 (не в решении).

Ответ: x ∈ (-∞, 0] ∪ [4, ∞).