sin x = 1
Задача: sin x = 1
Коротко напоминание: синус достигает максимума 1 в точках, где угол располагается над верхней точкой единичной окружности.
Пошаговое решение
- Что значит sin x = 1
- На единичной окружности sin x — это ордината точки, соответствующей углу x. Значение 1 означает верхнюю точку окружности: y = 1.
- Эта точка соответствует углу x = π/2 плюс кратные периоду 2π.
- Общая формула решения
- Все решения имеют вид: x = π/2 + 2πk, где k ∈ Z (целые числа).
- Проверка через формулу суммы
- Используем формулу синуса суммы: sin(π/2 + 2πk) = sin(π/2)cos(2πk) + cos(π/2)sin(2πk) = 1·1 + 0·0 = 1.
- Значит такие x действительно удовлетворяют sin x = 1.
- Варианты выражения в разных единицах
- В радианах: x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
- В градусах: x = 90° + 360°k, k ∈ Z.
- Примеры
- k = 0: x = π/2 (или 90°)
- k = 1: x = 5π/2 (или 450°)
- k = -1: x = -3π/2 (или -270°)
- Ограничение на интервал
- Если требуется рассмотреть только 0 ≤ x < 2π, то единственный корень: x = π/2 (или 90°).
Итог
- Общее решение: x = π/2 + 2πk, k ∈ Z (или x = 90° + 360°k, k ∈ Z).
Обсуждение
2 сообщения2x2+5x+4=3x+2
Чтобы решить уравнение \(2x^2 + 5x + 4 = 3x + 2\), начнем с приведения всех членов к одной стороне уравнения:
Переносим \(3x\) и \(2\) на левую сторону: \[ 2x^2 + 5x + 4 - 3x - 2 = 0 \] Упрощаем: \[ 2x^2 + (5x - 3x) + (4 - 2) = 0 \] \[ 2x^2 + 2x + 2 = 0 \]
Упрощаем уравнение, разделив все его члены на 2: \[ x^2 + x + 1 = 0 \]
Теперь можем использовать дискриминант для поиска корней: \[ D = b^2 - 4ac \] Где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 1\): \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \]
Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), уравнение не имеет вещественных корней. Корни будут комплексными.
Находим комплексные корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \]
Итог: Корни уравнения: \[ x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad x = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \]
