В горном районе создано n автоматических сейсмических станций. Каждая станция в течение года может выйти из строя с вероятностью р. Какова вероятность того, что в течение года…

Ответ: вероятность того, что хотя бы одна станция потребует ремонта, равна 1 - (1 - p)^n.

Пояснение по шагам:

• Пусть каждая станция выходит из строя в течение года с вероятностью p и выходы независимы.
• Вероятность того, что конкретно одна станция не выйдет из строя за год, равна 1 - p.
• Вероятность того, что ни одна из n станций не выйдет из строя за год (то есть все останутся рабочими) равна (1 - p)^n.
• Тогда вероятность того, что хотя бы одна станция выйдет из строя (то есть есть хотя бы одно событие "станция вышла") равна 1 минус вышеуказанная вероятность: P = 1 - (1 - p)^n.

Дополнительно:

• Если X — число вышедших из строя станций за год, то X ~ Binomial(n, p) и P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n.
• Пример: если n = 5 и p = 0.2, то P = 1 - (0.8)^5 ≈ 0.67232 (примерно 67.2%).

Примечание: этот вывод основан на предположении независимости выходов станций. При зависимых выходах нужна другая модель.