Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). На стороне АВ выбирается точка К, а на стороне ВС точка L, так что АК+CL=АВ. Найдите геометрическое место середин отрезков KL..

Дано равнобедренный треугольник ABC с AB = BC. На стороне AB лежит K, на BC — L, причём AK + CL = AB. Найдем геометрическое место середин отрезков KL (точку M — середину KL). Пусть AB = BC = a. Обозначим AK = x (0 ≤ x ≤ a). Тогда CL = a − x. Из BC = a следует BL = BC − CL = a − (a − x) = x. Итак, AK = BL = x. Синтетическое решение (без координат): - Рассмотрим середины двух сторон треугольника: M1 — середина AB, M2 — середина BC. - Пусть t = x/a, тогда 0 ≤ t ≤ 1. - Точка K лежит на AB на расстоянии x от A toward B, значит K принадлежит отрезку AB так, что K = (1 − t)A + tB. - Точка L лежит на BC на расстоянии BL = x от B toward C, значит L = (1 − t)B + tC. - Точка M — середина KL: M = (K + L)/2. Подставим K и L: M = ( (1 − t)A + tB + (1 − t)B + tC ) / 2 = (1 − t) (A + B)/2 + t (B + C)/2 = (1 − t) M1 + t M2. - Так как t варьируется от 0 до 1, точка M движется по отрезку M1M2, причем при t = 0 M совпадает с M1 (середина AB), а при t = 1 — с M2 (середина BC). Следовательно, геометрическое место середин KL есть отрезок, соединяющий середины AB и BC. Этот отрезок: - параллелен AC (так как M1M2 параллелен AC по теореме о серединах); - имеет длину AC/2 (часть отрезка между серединами ближайших сторон). Ответ: геометрическое место середин KL — отрезок, соединяющий середины AB и BC (то есть серединам двух сторон равнобедренного треугольника).