у=2х^2

Это функция y = 2x^2. Ниже кратко основные свойства и несколько стандартных задач.

Основные свойства

• Домен: все вещественные числа.
• Область значений: y ≥ 0.
• Вершина параболы: (0, 0). Ось параболы: x = 0 (ось симметрии).
• Направление ветвей: вверх (чему соответствует коэффициент a = 2 > 0).
• Число пересечений с осями: с осью y пересечение в y = 0 (точка (0,0)); с осью x также только в x = 0 (множество корней уравнения 2x^2 = 0 даёт один корень x = 0).
• Кубическая проверка: f′(x) = 4x, f″(x) = 4. Значит функция возрастает на [0, ∞) и убывает на (−∞, 0].

Краткие характеристики параболы

• Вершина: (0, 0).
• Ось симметрии: x = 0.
• Фокус и директриса: для y = (1/(4p))x^2, fокус в (0, p), директриса y = −p. Здесь 1/(4p) = 2 ⇒ p = 1/8.
  • Фокус: (0, 1/8).
  • Директриса: y = −1/8.
• Длина параллелепипса латы (latus rectum): 4p = 4·(1/8) = 1/2. Эндпойнты латы: (±1/4, 1/8).

Производные и примеры задач

• Производная: f′(x) = 4x.
• Тangent at x0: уравнение касательной y = f′(x0)(x − x0) + f(x0) = 4x0(x − x0) + 2x0^2 = 4x0x − 2x0^2.
  Примеры:
  • при x0 = 0 касательная y = 0 (горизонтальная).
  • при x0 = 1: касательная y = 4x − 2.
• Нормаль к точке x0: имеет угловой коэффициент −1/(4x0) (для x0 ≠ 0).

Примеры задач для тренировки

• Найдёте коэффициенты касательной в любой точке x0.
• Найдите вершину и ось симметрии (даны выше).
• Найдите пересечения с осями (у нас только (0,0)).
• Найдите фокус и директрису (как выше).
• Найдите интеграл ∫2x^2 dx = (2/3)x^3 + C.

Если скажете, какие именно задачи или какие данные из курса вам нужны (например, найти касательную в заданной точке, найти примеры графиков, или решить конкретное неравенство/интеграл), помогу посчитать конкретно под ваш вариант.