lg(x-1)+lg(x+1)=0

Задача: lg(x-1) + lg(x+1) = 0, где lg — логарифм по основанию 10.

Шаги решения и пояснения:

1. Граф域 определения

• Чтобы логарифм был определён, нужно, чтобы аргументы были положительны: x - 1 > 0 и x + 1 > 0.
• Из первого неравенства получаем x > 1. Из второго: x > -1. В сумме домен равен x > 1.

2. Применяем свойства логарифмов

• lg(a) + lg(b) = lg(ab) для положительных a и b.
• Применяем к a = x - 1, b = x + 1: lg((x - 1)(x + 1)) = 0.

3. Преобразование уравнения

• lg((x - 1)(x + 1)) = 0 означает, что (x - 1)(x + 1) = 10^0 = 1.
• Раскроем скобки: x^2 - 1 = 1.
• Следовательно, x^2 = 2, то есть x = ±√2.

4. Проверка согласованности с доменом

• По пункту 1 домен требует x > 1. Из двух решений:
  • x = √2 ≈ 1.414 — подходит.
  • x = -√2 ≈ -1.414 — не подходит (не входит в домен).
• Следовательно, допустимое решение одно: x = √2.

5. Проверка корректности (кратко)

• При x = √2 аргументы: √2 - 1 > 0 и √2 + 1 > 0, логарифмы существуют.
• lg(√2 - 1) + lg(√2 + 1) = lg((√2 - 1)(√2 + 1)) = lg(2 - 1) = lg(1) = 0, что совпадает с правой частью.

Ответ: x = √2.