6.9. 1)320 в степени 1/3-2•(135) в степени 1/3+3•(40) в степени 1/3

Конечно! Давайте разберёмся по шагам, как выполнить данное выражение:

1. Начинаем с выражения: \[ 320^{1/3} - 2 \cdot (135)^{1/3} + 3 \cdot (40)^{1/3} \]

2. Находим кубические корни всех чисел по отдельности.

   • Для \(320\): \[ 320 = 32 \cdot 10 = 2^5 \cdot 10 \] Кубический корень: \[ 320^{1/3} = (2^5 \cdot 10)^{1/3} = 2^{5/3} \cdot 10^{1/3} = 2^{1 + 2/3} \cdot 10^{1/3} = 2 \cdot 2^{2/3} \cdot 10^{1/3} = 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10} \] Можно оставить в таком виде.

   • Для \(135\): \[ 135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5 \] Кубический корень: \[ 135^{1/3} = (3^3 \cdot 5)^{1/3} = 3 \cdot 5^{1/3} \]

   • Для \(40\): \[ 40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 \] Кубический корень: \[ 40^{1/3} = (2^3 \cdot 5)^{1/3} = 2 \cdot 5^{1/3} \]

3. Подставим найденные значения обратно в выражение: \[ 320^{1/3} = 2 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot 10} \] \[ - 2 \cdot (135)^{1/3} = -2 \cdot (3 \cdot 5^{1/3}) = -6 \cdot 5^{1/3} \] \[ + 3 \cdot (40)^{1/3} = 3 \cdot (2 \cdot 5^{1/3}) = 6 \cdot 5^{1/3} \]

4. Теперь подставим всё это в выражение: \[ 2 \cdot \sqrt[3]{40} - 6 \cdot 5^{1/3} + 6 \cdot 5^{1/3} \]

   Последние два термина \( -6 \cdot 5^{1/3} + 6 \cdot 5^{1/3} \) взаимно уничтожают друг друга: \[ 2 \cdot \sqrt[3]{40} \]

   Для \( \sqrt[3]{40} \), мы можем также заменить его на \( \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2 \cdot \sqrt[3]{5} \), тогда: \[ 2 \cdot (2 \cdot \sqrt[3]{5}) = 4 \cdot \sqrt[3]{5} \]

5. В итоге мы получаем: \[ 4 \cdot \sqrt[3]{5} \]

Такое полное решение даёт конечный ответ.