найди мне все формулы в алгебре

Отлично. Ниже — подробный обзор основных формул алгебры, разделённый по темам. Это базовый “набор формул” для средней школы; использовать можно как справочник. Если нужно — могу адаптировать под ваш класс и конкретную тему.

1. Правила работы со степенями и корнями

• a^m · a^n = a^(m+n) (при одинаковом основании)
• (a^m)^n = a^(m n)
• (ab)^n = a^n · b^n
• (a/b)^n = a^n / b^n, b ≠ 0
• sqrt(a^2) = |a|; sqrt(a)·sqrt(b) = sqrt(ab) при a, b ≥ 0
• a^(1/n) = n-я корень из a

2. Формулы сокращённого умножения (часто используются для факторизации)

• (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• (a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2
• (a + b)(a − b) = a^2 − b^2
• a^2 − 2ab + b^2 = (a − b)^2
• a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

3. Разложение квадратного многочлена и связь с корнями

• ax^2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2), где r1, r2 — корни (если разложение возможно)
• Дискриминант: D = b^2 − 4ac
• Корни квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0: x = [−b ± sqrt(D)] / (2a), при a ≠ 0
• Теорема Виета для квадратного уравнения: r1 + r2 = −b/a, r1 r2 = c/a

4. Формулы для линейных уравнений и функций

• Линейное уравнение ax + b = 0, a ≠ 0: x = −b/a
• Линейная функция: y = kx + b (наклон линии — коэффициент k, сдвиг — b)

5. Формулы для арифметической и геометрической прогрессий

• Арифметическая прогрессия:
  • Общий член: a_n = a1 + (n − 1)d
  • Сумма первых n членов: S_n = n/2 · (a1 + a_n) = n/2 · (2a1 + (n − 1)d)
• Геометрическая прогрессия:
  • Общий член: a_n = a1 · q^(n−1)
  • Сумма первых n членов: S_n = a1 · (1 − q^n) / (1 − q), при q ≠ 1

6. Формулы для квадратного разложения и тождеств

• x^2 − y^2 = (x − y)(x + y)
• (x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3 (формула Бинома для n=3)
• Раскрытие (x + y + z)^2: x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz

7. Биномиальная формула (обобщение)

• (a + b)^n = sum_{k=0}^n C(n, k) a^(n−k) b^k, где C(n, k) — комбинации
• Используется для разложения степеней суммы при любом натуральном n

8. Логарифмы и показательную форму (часто включаются в алгебру)

• a^m · a^n = a^(m+n) (как и в п.1)
• log_a(xy) = log_a x + log_a y
• log_a(x^k) = k · log_a x
• a^(log_a x) = x
• log_a b = 1 / log_b a (через изменение базы): чаще записывают как log(x)/log(a) в одной системе; точная форма зависит от выбранной базы
• Change of base: log_b x = log_k x / log_k b (для любой положительной k ≠ 1)

9. Рациональные выражения и преобразования дробей

• (p/q) + (r/s) = (ps + qr) / (qs)
• (p/q) − (r/s) = (ps − qr) / (qs)
• (p/q) · (r/s) = pr / (qs)
• (p/q) ÷ (r/s) = (p/q) · (s/r) = ps / (qr), при q, r ≠ 0
• Приведение подобный дробей, знаменателей к общему знаменателю и пр.

10. Советы по применению формул

• Всегда уделяйте внимание условиям домена: какие значения допустимы для переменных и параметров (например, b ≠ 0 при делении на b; отрицательные базы при дробных степенях и т.д.).
• При работе с квадратными уравнениями сначала найдите дискриминант D; по D можно увидеть наличие трёх случаев: два корня, один корень (повторяющийся), или нет действительных корней.
• При факторизации ищите образующие пары или применяйте формулы сокращения (разложение по формулам).

Примеры применения некоторых формул

• Факторизация: (x + 4)(x − 3) = x^2 + x − 12
• Дискриминант: для 2x^2 − 3x + 1 = 0, D = (−3)^2 − 4·2·1 = 9 − 8 = 1, корни x = [3 ± 1]/(4) → x = 1/2 или x = 1
• Геометрическая сумма: a1 = 5, q = 2, n = 4 → S_4 = 5(1 − 2^4)/(1 − 2) = 5(1 − 16)/(−1) = 5·15 = 75
• Биномиальная формула: (x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3

Если хочешь, могу адаптировать этот справочник под твой класс (например, 8‑й, 9‑й или 11‑й класс) и сделать компактный шпаргалку-приятельку или подборку по конкретной теме (квадратные уравнения, прогрессии, факторизация, логарифмы и т.д.). Также могу привести дополнительные примеры по каждой формуле или разобрать конкретную задачу шаг за шагом. Скажи, на какую тему тебе удобнее перейти дальше.