лог⅓ √х^2-2х=-½
Задача: log base 1/3 от sqrt(x^2 - 2x) равно -1/2. То есть: log_{1/3}( sqrt(x^2 - 2x) ) = -1/2.
Пошаговое решение для понятности.
Применим свойство логарифмов Если log_a(b) = c, то b = a^c. Здесь a = 1/3, c = -1/2, поэтому sqrt(x^2 - 2x) = (1/3)^{-1/2} = sqrt(3).
Положительность аргумента логарифма Аргумент логарифма должен быть положителен: sqrt(x^2 - 2x) > 0. Это требует x^2 - 2x > 0, то есть x(x - 2) > 0, следовательно x < 0 или x > 2.
Решаем уравнение sqrt(x^2 - 2x) = sqrt(3) Возведём в квадрат: x^2 - 2x = 3 Перенесём: x^2 - 2x - 3 = 0 Решаем квадратное уравнение: D = (-2)^2 - 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16 x = (2 ± sqrt(16)) / 2 = (2 ± 4) / 2 Получаем x = 3 или x = -1.
Проверка условий области Для x = 3: x^2 - 2x = 9 - 6 = 3 > 0 — подходит. Для x = -1: x^2 - 2x = 1 + 2 = 3 > 0 — подходит. Оба значения удовлетворяют требованию положительности аргумента логарифма.
Ответ x = -1 и x = 3.
Кратко: оба корня подходят и удовлетворяют исходному уравнению.
