Найдите главную часть вида γ(x)=c(x+20)m бесконечно малой функции α(x)=213⋅−16[tg (x+20)−sin (x+20)]13 при x→−20 .…
Найдите главную часть вида γ(x)=c(x+20)m бесконечно малой функции α(x)=213⋅−16[tg (x+20)−sin (x+20)]13 при x→−20 . _______________________________________________________________________ Примечание. В ответ введите сначала значение С, а затем через точку с запятой, значение m. Если в ответе десятичная дробь, то округлить до сотых. Дробную часть отделять точкой.
Пошаговое решение:
Пусть t = x + 20. При x → −20, t → 0.
Раскроем tan t и sin t в окрестности нуля: tan t = t + t^3/3 + o(t^3), sin t = t − t^3/6 + o(t^3).
Тогда tan t − sin t = (t^3/3 + t^3/6) + o(t^3) = t^3/2 + o(t^3).
Задан α(x) = 213 · −16 [tan(x+20) − sin(x+20)]^13 = −3408 [tan t − sin t]^13.
Подставляя приближение, получаем α(x) ~ −3408 (t^3/2)^13 = −3408 · t^{39} / 2^{13}.
Сокращая коэффициент: −3408 / 2^{13} = −3408 / 8192 = −213/512.
Следовательно, при x → −20 α(x) ~ −(213/512) (x+20)^{39}.
Таким образом, главная часть γ(x) имеет вид γ(x) = c (x+20)^m с c = −213/512 и m = 39.
Ответ (в требуемом формате): -0.42;39
