10 учеников в случайном порядке заходят на экзамен, каждый из них называет фамилию однофамильцев нет, председатель экзаменационной комиссии, записывает на листочке фамилии в том…

Уточнение задачи:

• 10 учеников с различными фамилиями заходят в случайном порядке.
• Председатель записывает фамилии в том порядке, в каком входят ученики.
• Нужно найти вероятность двух случаев: a) записанные фамилии в алфавитном порядке (возрастание по алфавиту); b) в порядке обратно алфавитному (убывание по алфавиту).

Решение:

1. Общее число возможных порядков входа — 10! (все перестановки 10 различных фамилий одинаково вероятны).

2. Сколько из этих порядков дают алфавитный порядок?

• Только один порядок — тот, который идёт по возрастанию фамилий в алфавитном порядке. Поэтому P(алфавитный порядок) = 1/10!.

3. Сколько из возможных порядков дают обратный алфавитный порядок?

• Аналогично, только один порядок — по убыванию. Поэтому P(обратный алфавитный порядок) = 1/10!.

4. Вероятность того, что запись будет либо в алфавитном, либо в обратном алфавитном порядке:

• Эти события взаимно исключаются (один и тот же порядок не может быть и так, и эдак одновременно).
• P(либо алфавитный, либо обратный) = 1/10! + 1/10! = 2/10! = 1/(10!/2) = 1/1,814,400.

Числовые значения:

• 10! = 3,628,800.
• P(алфавитный) = 1/3,628,800 ≈ 2,7557 × 10^-7.
• P(обратный алфавитный) = 1/3,628,800 ≈ 2,7557 × 10^-7.
• P(либо один из двух вариантов) = 2/3,628,800 = 1/1,814,400 ≈ 5,511 × 10^-7.

Дополнительно:

• Обобщение: для любого числа n учеников вероятность, что записи будут в алфавитном порядке, равна 1/n!, а в обратном алфавитном порядке — тоже 1/n!. Следовательно, вероятность любого из двух вариантов — 2/n!.