9x³-18x²-x+2=0

Задача: 9x^3 − 18x^2 − x + 2 = 0

Пошаговое решение с пояснениями

1. Разделим на группы и попробуем вынести общие множители:

• 9x^3 − 18x^2 = 9x^2(x − 2)
• −x + 2 = −1(x − 2)

Объединим: 9x^2(x − 2) − 1(x − 2) = (9x^2 − 1)(x − 2)

2. Распишем разность квадратов: 9x^2 − 1 = (3x)^2 − 1^2 = (3x − 1)(3x + 1)

Таким образом получаем разложение многочлена: 9x^3 − 18x^2 − x + 2 = (3x − 1)(3x + 1)(x − 2)

3. Найдём корни, приравняв каждый множитель к нулю:

• 3x − 1 = 0 → x = 1/3
• 3x + 1 = 0 → x = −1/3
• x − 2 = 0 → x = 2

Итого, корни уравнения: x ∈ {−1/3, 1/3, 2} (каждый корень кратности 1).

4. Быстрая проверка (по желанию): Подставим x = 2: 9·8 − 18·4 − 2 + 2 = 72 − 72 = 0, верно. Подставим x = 1/3: можно проверить аналогично, получаем 0. И т.д.

Дополнительный путь (для учебного понимания):

• Можно заметить, что одно из корней может быть целым, проверить по рациональным корням (P/q). Затем поделить многочлен на (x − 2) методом синтетического деления, получить квадратный 9x^2 − 1, который раскладывается на (3x − 1)(3x + 1).

Ответ: x = −1/3, x = 1/3, x = 2.