9x²+6x+1

Отлично, разберём подробно. Цель — понять, как увидеть и доказать, что этот квадратный трёхчлен является квадратом двучлена.

Задача: 9x^2 + 6x + 1

1. Вспомним форму квадрата двучлена

• Любой квадрат двучлена имеет вид (ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2ab x + b^2.
• Здесь у нас 9x^2 + 6x + 1. Попробуем сопоставить с формой (3x + 1)^2: (3x + 1)^2 = (3x)^2 + 2*(3x)*1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1.
• Видим, что совпадает по всем членам.

2. Факторизация через разложение на p и q

• Запишем ac-подстановку: a = 9, b = 6, c = 1, поэтому ac = 9.
• Ищем числа p и q такие, что p + q = b = 6 и p q = ac = 9.
• Числа p = 3 и q = 3 удовлетворяют условиям: 3 + 3 = 6 и 3*3 = 9.
• Перепишем: 9x^2 + 6x + 1 = 9x^2 + 3x + 3x + 1 = 3x(3x + 1) + 1(3x + 1) = (3x + 1)(3x + 1) = (3x + 1)^2.

3. Проверка

• Раскроем скобки: (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1, что совпадает с исходным выражением.

4. Что это означает по сути

• 9x^2 + 6x + 1 — это квадрат суммы (квадрат двучлена): он всегда неотрицателен и имеет один повторяющийся корень.
• Если уравнение 9x^2 + 6x + 1 = 0, то из (3x + 1)^2 = 0 следует 3x + 1 = 0, и корень один: x = -1/3.

Коротко итог

• 9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2.
• Дискриминант D = b^2 − 4ac = 36 − 36 = 0, двойной корень x = -1/3.