Вероятность того что новая посудомоечная машина в течение года поступил гарантийный ремонт равна ноль целых 0 45 некотором городе из 1000 проданных посудомоечную машину в течение года в гарантированном посту поступило 67 штук

Похоже, задача сформулирована так: вероятность гарантийного ремонта для новой посудомоечной машины за год p задана как 0,045 (4,5%), а в городе из 1000 проданных машин за год действительно было 67 гарантийных ремонтов. Нужно проверить гипотезу и/ou построить интервал для p. Ниже привожу решение по этому варианту. Если же имеется другое p (например 0,45), скажите — пересчитаю. Дано - n = 1000, x = 67, p0 = 0,045 (то есть p̂ = x/n = 0,067) - Основание для проверки: H0: p = p0 против H1: p ≠ p0 (двусторонний тест) 1) Статистика и значение p - Стандартная ошибка под H0: SE0 = sqrt(p0(1 − p0) / n) = sqrt(0,045 · 0,955 / 1000) ≈ sqrt(0,042975 / 1000) ≈ 0,00656 - Z-статистика: z = (p̂ − p0) / SE0 = (0,067 − 0,045) / 0,00656 ≈ 3,35 - Двусторонний p-값: примерно 2 · (1 − Φ(3,35)) ≈ 0,00086 Вывод: при уровне значимости α = 0,05 гипотезу H0 отвергаем. Вероятность наблюдать такое или более экстремальное значение при p = 0,045 очень мала. 2) Доверительный интервал для p (вариант Wald) - Стандартная ошибка для p̂: SÊ = sqrt(p̂(1 − p̂) / n) = sqrt(0,067 · 0,933 / 1000) ≈ sqrt(0,062511 / 1000) ≈ 0,00791 - 95% доверительный интервал ( Wald ): p̂ ± 1,96 · SÊ ≈ 0,067 ± 0,0155 → [0,0515, 0,0825] 3) Альтернатива: Wilson (более надёжный интервал) - Применяя формулу Дж. Уилсона, 95% доверительный интервал примерно: [0,053, 0,084] (оценки могут слегка отличаться в зависимости от метода округления) 4) Вероятность наблюдать ровно 67 при p = 0,045 (приближённо) - Поскольку X ~ Binomial(n=1000, p=0,045), вероятность P(X ≥ 67) ≈ 0,0005 (односторонний), а двусторонний p ≈ 0,001. Это ещё раз подтверждает, что наблюдаемое число значительно выше ожидаемого (≈ 45). Если же имелось другое p (например p0 = 0,450), то: - Ожидание при p0 = 0,45: np = 450, стандартная ошибка sqrt(np(1−p)) ≈ sqrt(1000 · 0,45 · 0,55) ≈ 15,7 - Z-статистика: z ≈ (0,067 − 0,450) / (sqrt(p0(1−p0)/n)) ≈ −24,4 - p-значение примерно 0; гипотезу о p = 0,45 отвергаем сильнее. Что вам нужно сделать дальше - Сообщите, пожалуйста, какое p нужно использовать для гипотезы: 0,045 или 0,450, или другое. - Скажите, хотите ли вы: (а) проверить гипотезу (записать H0/H1 и p-значение), (б) построить доверительный интервал для p, или (в) вычислить вероятность наблюдать данный результат точно (точная биномиальная вероятность)? Я дам расчёты под выбранный вами вариант.