какая формулировка теоремы об отношении площадей двух подобных треугольников является верной

Цель: понять.

Ответ (верная формулировка): Если два треугольника подобны и коэффициент их подобия равен k = (длина любой стороны второго треугольника) / (соотв. стороны первого), то их площади S2 и S1 удовлетворяют S2 / S1 = k^2. То есть площадь второго треугольника равна k^2 умноженной на площадь первого: S2 = k^2 · S1. Причём k одинаково определяется по любым парам соответствующих сторон: AB' / AB = BC' / BC = CA' / CA = k.

Доказательство (пошагово):

1. Пусть треугольники ABC и A'B'C' подобны, так что соответствующие стороны пропорциональны: AB' = k·AB, BC' = k·BC, CA' = k·CA, и соответствующие углы совпадают (∠A = ∠A', и т. д.).
2. Выберем пару прилегающих сторон и угол между ними, например AB и AC образуют угол ∠A. Площадь первого треугольника: S1 = (1/2) · AB · AC · sin∠A.
3. Во втором треугольнике стороны соответствуют в k-раз неср.: A'B' = k·AB, A'C' = k·AC, угол ∠A' = ∠A. Тогда S2 = (1/2) · (kAB) · (kAC) · sin∠A = k^2 · (1/2) · AB · AC · sin∠A = k^2 · S1.
4. Следовательно, S2 / S1 = k^2. Аналогично можно записать S2 = k^2 · S1.

Дополнительные замечания:

• Если S2/S1 = r, то коэффициент подобия k = sqrt(r).
• Формула S2/S1 = (соответствующий коэффициент стороны)^2 применима к любой паре соответствующих сторон.

Пример: Пусть коэффициент подобия k = 3. Тогда S2 = 3^2 · S1 = 9S1. Если S1 = 4 см², то S2 = 36 см².