Y=6-4x-2x² y=x²+4x-5 y=x²+2x-8 Исследовать функции по параметрам: область определения функции, область значения функции, чётность функции, интервалы (возрастание, убывание), наибольшее и наименьшее значение функции

Ниже подробное исследование для каждого из трёх квадратичных функций. Принимаем, что область определения всех трёх функций — вся система действительных чисел. 1) f1(x) = 6 - 4x - 2x^2 - Область определения: все действительные числа R. - Область значений (часть графика по y): так как a = -2 < 0, парабола открывается вниз, имеется глобальный максимум и верхняя граница значения. Найдём вершину. - Координаты вершины: x_v = -b/(2a) = -(-4) / (2·-2) = 4 / -4 = -1. - Значение в вершине: f1(-1) = 6 - 4(-1) - 2(-1)^2 = 6 + 4 - 2 = 8. - Следовательно, максимум равен 8 при x = -1, диапазон значений: (-∞, 8]. - Чётность: f1(-x) = 6 + 4x - 2x^2, а f1(x) = 6 - 4x - 2x^2. Они не равны и не равны наоборот, поэтому функция не чётная и не нечётная. - Интервалы возрастания/убывания: - Производная: f1'(x) = -4x - 4. - Точка экстремума где f1'(x) = 0: x = -1 (как и выше). - При x < -1: f1'(x) > 0 => функция возрастает. - При x > -1: f1'(x) < 0 => функция убывает. - Следовательно: (-∞, -1] возрастает, [-1, ∞) убывает. - Наибольшее и наименьшее значения: - Наибольшее: 8 при x = -1. - Наименьшего значения нет (предел по y снизу -∞). 2) f2(x) = x^2 + 4x - 5 - Область определения: все действительные числа R. - Область значений: - a = 1 > 0, парабола открывается вверх, минимум есть, максимума нет (вверх без ограничений по росту вправо/вверх). - Координаты вершины: x_v = -b/(2a) = -4/(2) = -2. - Значение в вершине: f2(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9. - Следовательно, минимум -9 при x = -2, диапазон значений: [-9, +∞). - Чётность: f2(-x) = x^2 - 4x - 5, а f2(x) = x^2 + 4x - 5. Они не равны и не противоположны, следовательно, функция не чётная и не нечётная. - Интервалы возрастания/убывания: - Производная: f2'(x) = 2x + 4. - Точка экстремума: f2'(x) = 0 при x = -2. - При x < -2: f2'(x) < 0 => функция убывает. - При x > -2: f2'(x) > 0 => функция возрастает. - Следовательно: (-∞, -2] убывает, [-2, ∞) возрастает. - Наибольшее и наименьшее значения: - Наименьшее: -9 при x = -2. - Наибольшего значения нет (предел по y бесконечность вверх). 3) f3(x) = x^2 + 2x - 8 - Область определения: все действительные числа R. - Область значений: - a = 1 > 0, парабола открывается вверх, есть минимум и нет максимума. - Координаты вершины: x_v = -b/(2a) = -2/(2) = -1. - Значение в вершине: f3(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9. - Следовательно, минимум -9 при x = -1, диапазон значений: [-9, +∞). - Чётность: f3(-x) = x^2 - 2x - 8, а f3(x) = x^2 + 2x - 8. Не равны и не противоположны, значит не чётная и не нечётная. - Интервалы возрастания/убывания: - Производная: f3'(x) = 2x + 2. - Точка экстремума: f3'(x) = 0 при x = -1. - При x < -1: f3'(x) < 0 => функция убывает. - При x > -1: f3'(x) > 0 => функция возрастает. - Следовательно: (-∞, -1] убывает, [-1, ∞) возрастает. - Наибольшее и наименьшее значения: - Наименьшее: -9 при x = -1. - Наибольшего значения нет (предел по y вверх бесконечность). Краткое резюме по всем трём функциям: - Все три функции имеют область определения R. - Первая функция имеет максимум 8 при x = -1; диапазон (-∞, 8]. Не единственный экстремум по возрастанию/убыванию: возрастает до x = -1, затем убывает. - Вторая и третья функции имеют минимум -9 (при x = -2 у f2 и при x = -1 у f3); диапазоны [-9, ∞). Оба квадратичных полинома открываются вверх, их графики монотонно уменьшаются слева от вершины и возрастают справа от вершины. - Ни одна из трёх функций не является ни чётной, ни нечётной.