y=6-4x-2x² y=x²+4x-5 y=x²+2x-8 Исследовать функции по параметрам: область определения функции, область значения функции, чётность функции, интервалы (возрастание, убывание),…

Ниже подробное исследование для каждого из трёх квадратичных функций. Принимаем, что область определения всех трёх функций — вся система действительных чисел.

1. f1(x) = 6 - 4x - 2x^2

• Область определения: все действительные числа R.
• Область значений (часть графика по y): так как a = -2 < 0, парабола открывается вниз, имеется глобальный максимум и верхняя граница значения. Найдём вершину.
  • Координаты вершины: x_v = -b/(2a) = -(-4) / (2·-2) = 4 / -4 = -1.
  • Значение в вершине: f1(-1) = 6 - 4(-1) - 2(-1)^2 = 6 + 4 - 2 = 8.
  • Следовательно, максимум равен 8 при x = -1, диапазон значений: (-∞, 8].
• Чётность: f1(-x) = 6 + 4x - 2x^2, а f1(x) = 6 - 4x - 2x^2. Они не равны и не равны наоборот, поэтому функция не чётная и не нечётная.
• Интервалы возрастания/убывания:
  • Производная: f1'(x) = -4x - 4.
  • Точка экстремума где f1'(x) = 0: x = -1 (как и выше).
  • При x < -1: f1'(x) > 0 => функция возрастает.
  • При x > -1: f1'(x) < 0 => функция убывает.
  • Следовательно: (-∞, -1] возрастает, [-1, ∞) убывает.
• Наибольшее и наименьшее значения:
  • Наибольшее: 8 при x = -1.
  • Наименьшего значения нет (предел по y снизу -∞).

2. f2(x) = x^2 + 4x - 5

• Область определения: все действительные числа R.
• Область значений:
  • a = 1 > 0, парабола открывается вверх, минимум есть, максимума нет (вверх без ограничений по росту вправо/вверх).
  • Координаты вершины: x_v = -b/(2a) = -4/(2) = -2.
  • Значение в вершине: f2(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9.
  • Следовательно, минимум -9 при x = -2, диапазон значений: [-9, +∞).
• Чётность: f2(-x) = x^2 - 4x - 5, а f2(x) = x^2 + 4x - 5. Они не равны и не противоположны, следовательно, функция не чётная и не нечётная.
• Интервалы возрастания/убывания:
  • Производная: f2'(x) = 2x + 4.
  • Точка экстремума: f2'(x) = 0 при x = -2.
  • При x < -2: f2'(x) < 0 => функция убывает.
  • При x > -2: f2'(x) > 0 => функция возрастает.
  • Следовательно: (-∞, -2] убывает, [-2, ∞) возрастает.
• Наибольшее и наименьшее значения:
  • Наименьшее: -9 при x = -2.
  • Наибольшего значения нет (предел по y бесконечность вверх).

3. f3(x) = x^2 + 2x - 8

• Область определения: все действительные числа R.
• Область значений:
  • a = 1 > 0, парабола открывается вверх, есть минимум и нет максимума.
  • Координаты вершины: x_v = -b/(2a) = -2/(2) = -1.
  • Значение в вершине: f3(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9.
  • Следовательно, минимум -9 при x = -1, диапазон значений: [-9, +∞).
• Чётность: f3(-x) = x^2 - 2x - 8, а f3(x) = x^2 + 2x - 8. Не равны и не противоположны, значит не чётная и не нечётная.
• Интервалы возрастания/убывания:
  • Производная: f3'(x) = 2x + 2.
  • Точка экстремума: f3'(x) = 0 при x = -1.
  • При x < -1: f3'(x) < 0 => функция убывает.
  • При x > -1: f3'(x) > 0 => функция возрастает.
  • Следовательно: (-∞, -1] убывает, [-1, ∞) возрастает.
• Наибольшее и наименьшее значения:
  • Наименьшее: -9 при x = -1.
  • Наибольшего значения нет (предел по y вверх бесконечность).

Краткое резюме по всем трём функциям:

• Все три функции имеют область определения R.
• Первая функция имеет максимум 8 при x = -1; диапазон (-∞, 8]. Не единственный экстремум по возрастанию/убыванию: возрастает до x = -1, затем убывает.
• Вторая и третья функции имеют минимум -9 (при x = -2 у f2 и при x = -1 у f3); диапазоны [-9, ∞). Оба квадратичных полинома открываются вверх, их графики монотонно уменьшаются слева от вершины и возрастают справа от вершины.
• Ни одна из трёх функций не является ни чётной, ни нечётной.