рассчитай устойчивость системы по уравнению 4s³+2s²+s=0

Ниже решение с пошаговыми объяснениями.

Цель: понять устойчивость системы по характеристическому уравнению 4s^3 + 2s^2 + s = 0.

1. Найдём корни уравнения

• Запишем как 4s^3 + 2s^2 + s = 0 и вынесем общий множитель s: s(4s^2 + 2s + 1) = 0
• Первый корень: s1 = 0.
• Остальные корни найдём из квадратичного множителя 4s^2 + 2s + 1 = 0. Дискриминант D = 2^2 − 4·4·1 = 4 − 16 = −12. Корни квадратного множителя: s2,3 = [−2 ± i√12] / (2·4) = [−2 ± i·2√3] / 8 = (−1 ± i√3) / 4.

2. Числовые значения корней

• s1 = 0
• s2 = −1/4 + i(√3)/4 ≈ −0.25 + 0.433i
• s3 = −1/4 − i(√3)/4 ≈ −0.25 − 0.433i

3. Анализ устойчивости по полюсам

• В непрерывной системе устойчивость по стандартному критерию Хурвица/по месту полюсов означает, что все полюса должны иметь вещественную часть строго отрицательную (левая полуплоскость).
• Здесь есть полюс на вещественной оси: s1 = 0. Значит не все полюса в левой полуплоскости, следовательно система не асимптотически устойчива.
• Кроме того, наличие полюса на оси действительных чисел означает, что система не является устойчивой по бинарной (BIBO) устойчивости: для некоторых входов выход может расти или не быть абсолютно ограниченным.

4. Что это значит в терминах времени

• Общий вид решений для однородной задачи будет: y(t) = C1 + e^{−t/4} [ C2 cos( (√3/4) t ) + C3 sin( (√3/4) t ) ].
• Время-зависимая часть затухает (пальцы на −1/4), а константный член C1 остаётся постоянным. Это означает, что система не возвращается к нулевому состоянию и не “устойчиво уходит” к нулю со временем; она является погранично устойчивой по внутреннему критерию (в зависимости от определения) и не устойчивой в смысле BIBO.

Итого:

• Корни характеристического уравнения: s = 0, s = (−1 ± i√3)/4.
• Одним из полюсов является s = 0, что нарушает условие строгой устойчивости.
• Следовательно, система не асимптотически устойчива и не BIBO стабильна. Можно охарактеризовать как погранично устойчую по внутренним критериям (но не устойчивую в смысле БИБО).