Рассчитай устойчивость системы по уравнению 4s³+2s²+s=0

Ниже решение с пошаговыми объяснениями. Цель: понять устойчивость системы по характеристическому уравнению 4s^3 + 2s^2 + s = 0. 1) Найдём корни уравнения - Запишем как 4s^3 + 2s^2 + s = 0 и вынесем общий множитель s: s(4s^2 + 2s + 1) = 0 - Первый корень: s1 = 0. - Остальные корни найдём из квадратичного множителя 4s^2 + 2s + 1 = 0. Дискриминант D = 2^2 − 4·4·1 = 4 − 16 = −12. Корни квадратного множителя: s2,3 = [−2 ± i√12] / (2·4) = [−2 ± i·2√3] / 8 = (−1 ± i√3) / 4. 2) Числовые значения корней - s1 = 0 - s2 = −1/4 + i(√3)/4 ≈ −0.25 + 0.433i - s3 = −1/4 − i(√3)/4 ≈ −0.25 − 0.433i 3) Анализ устойчивости по полюсам - В непрерывной системе устойчивость по стандартному критерию Хурвица/по месту полюсов означает, что все полюса должны иметь вещественную часть строго отрицательную (левая полуплоскость). - Здесь есть полюс на вещественной оси: s1 = 0. Значит не все полюса в левой полуплоскости, следовательно система не асимптотически устойчива. - Кроме того, наличие полюса на оси действительных чисел означает, что система не является устойчивой по бинарной (BIBO) устойчивости: для некоторых входов выход может расти или не быть абсолютно ограниченным. 4) Что это значит в терминах времени - Общий вид решений для однородной задачи будет: y(t) = C1 + e^{−t/4} [ C2 cos( (√3/4) t ) + C3 sin( (√3/4) t ) ]. - Время-зависимая часть затухает (пальцы на −1/4), а константный член C1 остаётся постоянным. Это означает, что система не возвращается к нулевому состоянию и не “устойчиво уходит” к нулю со временем; она является погранично устойчивой по внутреннему критерию (в зависимости от определения) и не устойчивой в смысле BIBO. Итого: - Корни характеристического уравнения: s = 0, s = (−1 ± i√3)/4. - Одним из полюсов является s = 0, что нарушает условие строгой устойчивости. - Следовательно, система не асимптотически устойчива и не BIBO стабильна. Можно охарактеризовать как погранично устойчую по внутренним критериям (но не устойчивую в смысле БИБО).