Построить график функции и найти область определения и область значений данных функций: y=sin1/2x

Давайте примем наиболее вероятное толкование задачи: y = sin(x/2) (то есть sin((1/2)x)). Если имелось в виду другое, скажите — объясню другой вариант.

Разбор задачи для y = sin(x/2)

1. Область определения

• Функция sin(…) определена для любых действительных аргументов, поэтому область определения всей числовой прямой: (-∞, ∞).

2. Область значений

• Значение синуса лежит в интервале [-1, 1]. Значит, область значений также [-1, 1].

3. Период и характер графика

• Функция вида sin(kx) имеет период T = 2π/|k|.
• Здесь k = 1/2, значит T = 2π / (1/2) = 4π.
• Амплитуда равна 1, график — синусоида, растянутая по оси x (с удлинённым периодом).

4. Нули функции

• sin(x/2) = 0 при аргументе x/2 = nπ, где n ∈ Z.
• Следовательно, zeros at x = 2nπ, n ∈ Z. Примеры: ..., -4π, -2π, 0, 2π, 4π, ...

5. Максимумы и минимумы

• Максимумы достигаются, когда x/2 = π/2 + 2πn → x = π + 4πn; y = 1.
• Минимумы достигаются, когда x/2 = 3π/2 + 2πn → x = 3π + 4πn; y = -1. Примеры: максимумы в x = π, 5π, 9π, …; минимума в x = 3π, 7π, 11π, …

6. Примерные точки на графике (для ориентира)

• x = 0 → y = sin(0) = 0
• x = π → y = sin(π/2) = 1
• x = 2π → y = sin(π) = 0
• x = 3π → y = sin(3π/2) = -1
• x = 4π → y = sin(2π) = 0

7. Как построить график (пошагово)

• Нарисуйте координатные оси. По оси x отметьте точки по масштабу π (например, π, 2π, 3π, …).
• Отметьте амплитуду ±1 по оси y.
• Постройте синусоиду, начиная от точки (0,0), достигая максимума в (π, 1), возвращаясь к оси в (2π, 0), достигая минимума в (3π, -1), и снова возвращаясь к оси в (4π, 0). Это будет одна полноц А синусоиды с периодом 4π; затем продолжайте по тому же шаблону.
• Итог: график плавной волны с амплитудой 1 и периодом 4π, нули на x = 2nπ, максимумы на x = π + 4πn, минимумы на x = 3π + 4πn.

Итак, ответы:

• Область определения: (-∞, ∞)
• Область значений: [-1, 1]
• Период: 4π
• Нули: x = 2nπ, n ∈ Z
• Максимумы: y = 1 при x = π + 4πn
• Минимумы: y = -1 при x = 3π + 4πn

Если же вы имели в виду другой вариант записи (например, y = (sin 1)/ (2x) или y = sin(1/2)·x), дайте знать — приведу решение под соответствующую интерпретацию.