Докажите , что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними

Задача: доказать, что площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними. Обозначения: - Пусть ABCD — параллелограмм. - AB = a, AD = b. - Угол между смежными сторонами AB и AD равен θ = ∠BAD. Два простых доказательства. 1) Через высоту (основание AB) - Шаг 1. Возьмём основание AB параллелограмма. Опустим из вершины D перпендикуляр к прямой AB; точку пересечения назовём E. Тогда DE — высота параллелограмма к основанию AB. Значение площади S равняется произведению основания на высоту: S = AB · DE = a · DE. - Шаг 2. Рассмотрим треугольник ADE. Он прямоугольный в точке E, hypотенуза — AD длины b, угол при A между AB и AD равен θ. Следовательно, DE = AD · sin θ = b sin θ. - Шаг 3. Подставляем в формулу площади: S = a · DE = a · (b sin θ) = ab sin θ. Итак, площадь параллелограмма равна ab sin θ. 2) Через диагональ BD (деление на два треугольника) - Шаг 1. Диагональ BD делит параллелограмм на два равновеликих треугольника ABD и CBD. - Шаг 2. Площадь треугольника ABD равна (1/2) · AB · AD · sin θ, потому что формула площади треугольника по двух сторонам и включенному между ними углу даёт S(ABD) = (1/2) · a · b · sin θ. - Шаг 3. Площадь параллелограмма равна сумме площадей двух этих треугольников, т.е. S(параллелограммы) = 2 · S(ABD) = 2 · (1/2) · a · b · sin θ = ab sin θ. Заключение: Площадь параллелограмма ABCD равна произведению его двух смежных сторон на синус угла между ними: S = AB · AD · sin ∠BAD = ab sin θ. Дополнительный комментарий: - Если θ = 90°, то S = ab и параллелограмм — прямоугольник. - Если θ = 0° или 180°, S = 0 (параллелограмм вырождается в прямую линию).