Симметрия центрі бар төртбұрыш параллелограмм болатынын дəлелде

Задача: доказать, что четырехугольник с центром симметрии является параллелограммом. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, имеющий центр симметрии O. Это означает, что поворот на 180 градусов вокруг точки O отображает всю фигуру на себя. В частности, вершины пары A и C, а также пары B и D, взаимно симметричны относительно O. Значит: - O является серединой диагонали AC, то есть OA = OC и A, O, C лежат на одной прямой. - O является серединой диагонали BD, то есть OB = OD и B, O, D лежат на одной прямой. 1) Введём векторную модель. Поместим центр симметрии O в начало координат. Тогда можно записать: - OA = a, OB = b, - OC = -a, OD = -b, где a и b — любые вектора. 2) Найдём векторы сторон: - Вектор стороны AB равен AB = OB - OA = b - a. - Вектор стороны CD равен CD = OD - OC = (-b) - (-a) = a - b = -(b - a). Отсюда AB и CD имеют одинаковую длину и противоположные направления, значит они параллельны и равны по длине. 3) Аналогично для оставшихся сторон: - Вектор BC = OC - OB = (-a) - b = -(a + b). - Вектор AD = OD - OA = (-b) - a = -(a + b). Т.е. BC и AD тоже параллельны и равны по длине. 4) Вывод: противоположные стороны ABCD равны и параллельны, то есть ABCD — параллелограмм. Замечание: при наличии центра симметрии центр совпадает с пересечением диагоналей, что и следует из того, что A↔C и B↔D являются парами симметричных точек.