Симметрия центрі бар төртбұрыш параллелограмм болатынын дəлелде
Задача: доказать, что четырехугольник с центром симметрии является параллелограммом.
Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, имеющий центр симметрии O. Это означает, что поворот на 180 градусов вокруг точки O отображает всю фигуру на себя. В частности, вершины пары A и C, а также пары B и D, взаимно симметричны относительно O. Значит:
- O является серединой диагонали AC, то есть OA = OC и A, O, C лежат на одной прямой.
- O является серединой диагонали BD, то есть OB = OD и B, O, D лежат на одной прямой.
- Введём векторную модель. Поместим центр симметрии O в начало координат. Тогда можно записать:
- OA = a, OB = b,
- OC = -a, OD = -b, где a и b — любые вектора.
- Найдём векторы сторон:
- Вектор стороны AB равен AB = OB - OA = b - a.
- Вектор стороны CD равен CD = OD - OC = (-b) - (-a) = a - b = -(b - a).
Отсюда AB и CD имеют одинаковую длину и противоположные направления, значит они параллельны и равны по длине.
- Аналогично для оставшихся сторон:
- Вектор BC = OC - OB = (-a) - b = -(a + b).
- Вектор AD = OD - OA = (-b) - a = -(a + b).
Т.е. BC и AD тоже параллельны и равны по длине.
- Вывод: противоположные стороны ABCD равны и параллельны, то есть ABCD — параллелограмм.
Замечание: при наличии центра симметрии центр совпадает с пересечением диагоналей, что и следует из того, что A↔C и B↔D являются парами симметричных точек.
Обсуждение
2 сообщенияна казахском!
Тапсырма: симметрия орталығы бар төртбұрыштың параллелограмм болатынын дәлелдеу.
Болсын ABCD — симметрия орталығы O бар кез келген төртбұрыш. Бұл O нүктесі арқылы 180 градусқа айналдырғанда, фигура өзіне өзінің үстінде қалады дегенді білдіреді. Яғни A және C нүктелері, сондай-ақ B және D нүктелері O нүктесіне қатысты симметриялы. Демек:
- O AC диагоналінің орта нүктесі болады, яғни OA = OC және A, O, C бір түзудің бойында жатыр.
- O BD диагоналінің орта нүктесі болып табылады, яғни OB = OD және B, O, D да бір түзудің бойында жатыр.
- Векторлы модельді енгізейік. Симметрия орталығын O нүктесін нөлдік координатқа орналастырайық. Онда:
- OA = a, OB = b,
- OC = -a, OD = -b, мұндағы a және b — кез келген векторлар.
- Боктардың векторларын табайық:
- AB векторы: AB = OB - OA = b - a.
- CD векторы: CD = OD - OC = (-b) - (-a) = a - b = -(b - a).
Осыдан AB және CD векторлары бірдей бағытта және ұзындықта, яғни олар параллель болып табылады.
- Қалған боктарды да дәлелдейік:
- BC векторы: BC = OC - OB = (-a) - b = -(a + b).
- AD векторы: AD = OD - OA = (-b) - a = -(a + b).
Яғни, BC және AD векторлары да параллель және бірдей ұзындықта.
- Қорытынды: ABCD төртбұрышының қарама-қарсы бүйірлері тең және параллель, яғни ABCD — параллелограмм.
Ескерту: симметрия орталығы бар төртбұрыштың орталығы диагональдардың қиылысу нүктесімен сәйкес келеді, бұл A↔C және B↔D нүктелерінің симметриялық жұптары екендігінен шығады.
