Иван Ильич спросил где находится штаб. 2) В степной полосе где был расположен родной Колин городок лесов не было. 3) Теперь Леонтьеву стало ясно о чём он будет писать. 4) Пароход…

Ниже разбор задачи: расставляю знаки препинания, подчёркиваю изъяснительные придаточные и даю схемы для первого, второго и четвертого предложений. Поясняю каждое изменение и причину.

1. Иван Ильич спросил, где находится штаб.

• Пунктуация: правильно: Иван Ильич спросил, где находится штаб.
• Изъяснительное придаточное: "где находится штаб" (конструкция отвечает на вопрос "где?" к слову спрошено — штаб).
• Пояснение: это придаточное изъяснительное (содержит вопросительное слово, зависит от глагола говорения "спросил").
• Схема (упрощённая текстовая):
  • Главное предложение: Иван Ильич (подлежащее) + спросил (сказуемое)
  • Придаточное изъяснительное: где (вводное место) + находится (сказуемое) + штаб (подлежащее во придаточном)

2. В степной полосе, где был расположен родной Колин городок лесов, не было.

• Пунктуация: предлагаем правильную версию с союзной частью и корректировкой смысла: В степной полосе, где был расположен родной Колин городок лесов, не было лесов.
• Изъяснительное придаточное: придаточное места "где был расположен родной Колин городок лесов" не является izyasnitel'nym придаточным к глаголу говорения/мышления; это придаточное обстоятельственное предложения места.
• Пояснение: основная часть "не было" требует подлежащего; придаточное уточняет место, где это относится.
• Схема (упрощённая):
  • Главное предложение: не было (сказуемое); лесов (неявное подлежащее в контексте, можно считать опорой).
  • Придаточное места: где был расположен родной Колин городок лесов (где — союз; подлежащее внутри: городок; сказуемое внутри: был расположен).

3. Теперь Леонтьеву стало ясно о чём он будет писать.

• Пунктуация: правильно: Теперь Леонтьеву стало ясно, о чём он будет писать.
• Изъяснительное придаточное: "о чём он будет писать" (поясняет, чего именно стало ясно).
• Пояснение: это izяснительное придаточное, зависящее от сказуемого "стало ясно".
• Схема:
  • Главное: Леонтьеву (кто?) – подлежащее; стало ясно (сказуемое)
  • Придаточное: о чём он будет писать (инфинитивно-изъяснительное: "о чём" — вводное место; внутри: он (подлежащее); будет писать (сказуемое))

4. Пароход сел на мель вблизи того городка куда ехал Леонтьев.

• Пунктуация: правильно: Пароход сел на мель вблизи того городка, куда ехал Леонтьев.
• Придаточное место: "куда ехал Леонтьев" — относится к слову "городка".
• Пояснение: это не izyasнительное придаточное; это относительное придаточное предложения места к существительному "городка".
• Схема:
  • Главное: Пароход (подлежащее) + сел (сказуемое) + на мель (обстоятельство) + вблизи того городка (обстоятельство места)
  • Придаточное места: куда ехал Леонтьев (куда — вводное слово; ехал — сказуемое; Леонтьев — подлежащее)

5. Что написано пером то не вырубишь топором.

• Пунктуация: правильно: Что написано пером, то не вырубишь топором.
• Вид придаточного: придаточное изъяснительное/придаточно-составное? Это придаточное, выражающее содержание того, что говорится в главной части; здесь выступает в роли подлежащего высказываемого содержания: "Что написано пером" (то, что написано пером).
• Пояснение: хотя формально это лаконичное изречение, по смыслу здесь придаточное выражает содержание того, что сказано/сделано — это izяснительное придаточное.
• Схема:
  • Главное: то не вырубишь топором (сказуемое) + Что написано пером (подлежащее в придаточном)
  • Придаточное: что написано пером (подлежащее придаточного; внутри: написано — сказуемое; пером — обстоятельство средства)

6. Существовала некогда пословица что дети не живут а жить готовятся.

• Пунктуация: правильно: Существовала некогда пословица, что дети не живут, а жить готовятся.
• Изъяснительное придаточное: "что дети не живут, а жить готовятся" — придаточное изъяснительное (содержит содержание пословицы).
• Пояснение: придаточное после существительного "пословица".
• Схема:
  • Главное: пословица (существовала)
  • Придаточное: что дети не живут, а жить готовятся (содержание пословицы; внутри — два противопоставленных сказуемых: не живут / жить готовятся)

7. Давным-давно задумал я взглянуть на дальние поля узнать прекрасна ли земля.

• Пунктуация: правильно: Давным-давно задумал я взглянуть на дальние поля, узнать, прекрасна ли земля.
• Изъяснительное придаточное: "прекрасна ли земля" внутри придаточно-изъяснительного содержания к глаголу "узнать".
• Пояснение: здесь есть два придаточных: первое — сам инфинитивный оборот "узнать" (связь между действиями), второе — содержательное придаточное "прекрасна ли земля".
• Схема:
  • Главное: я (подлежащее) задумал; взглянуть (инфинитив) на дальние поля
  • Придаточное цели/инфинитивное: узнать
  • Вложенное придаточное: прекрасна ли земля (изъяснительное, внутри — вопросительное содержимое)

8. Изъясните мне в чём состоит ваша просьба и может быть мне удастся вам помочь.

• Пунктуация: правильно: Изъясните мне, в чём состоит ваша просьба, и может быть, мне удастся вам помочь.
• Изъяснительное придаточное: "в чём состоит ваша просьба" — придаточное изъяснительное к глаголу "изъясните".
• Пояснение: основная часть — просьба; придаточное поясняет содержание просьбы.
• Схема:
  • Главное: Изъясните (повелительное наклонение) + мне
  • Придаточное: в чём состоит ваша просьба
  • Соединение: далее союз "и" с добавочным придаточным предложения "может быть, мне удастся вам помочь" (при желании можно выделить отдельно второе придаточное как доп. часть)

9. Казбич вообразил будто Азамат украл у него лошадь.

• Пунктуация: правильно: Казбич вообразил, будто Азамат украл у него лошадь.
• Изъяснительное придаточное: "будто Азамат украл у него лошадь" — придаточное изъяснительное/сравнительное после глагола мысли "вообразил".
• Пояснение: это придаточное содержания мысленного чувства/представления (союз "будто"), т. е. izyasnitel'nое.
• Схема:
  • Главное: Казбич (подлежащее) + вообразил (сказуемое)
  • Придаточное: будто Азамат украл у него лошадь (субъект — Азамат; сказуемое — украл)

10. Так мне хочется чтобы появиться могли голубые сугробы с Петербургом вдали.

• Пунктуация: правильно: Так мне хочется, чтобы появились голубые сугробы с Петербургом вдали.
• Подчинённое: "чтобы появились голубые сугробы..." — придаточное целевое/изъяснительно-целевое к глаголу желания "хочется".
• Пояснение: здесь это придаточное цели/желания, не izяснительное; но часто встречается совместно с союзом "чтобы".
• Схема:
  • Главное: Так мне хочется (подлежащее: мне; сказуемое: хочется)
  • Придаточное: чтобы появились голубые сугробы с Петербургом вдали (целевая/изъяснительная часть к желанию)

Крайние пояснения и заметки

• 2-е предложение содержит придаточное места; можно записать корректно как: В степной полосе, где был расположен родной Колин городок лесов, не было лесов. Текст оригинала несколько неполный по смыслу, поэтому в исправленном варианте добавил повторение слова «лесов» для ясности.
• В 7-м и 8-м предложениях несколько придаточных вложены и требуют запятых, чтобы разбить части сложного предложения: после инфинитивов и внутри придаточных.
• В 5-м и 6-м предложениях придаточные выражают содержание утверждения или пословицы и относятся к главной части сложного предложения; их нужно подчёркивать как izьяснительные во время анализа.

Если хочешь, могу сделать отдельную версию с более детальной морфолингвистической разбивкой каждого придаточного (вид придаточного, вид придаточных союза и т. п.) или нарисовать простые графические схемы для всех 10 предложений.