напиши уравнение окружности с диаметром MN, если: a) M (3 ; -5), N (7; -3); б) M (2; -1), N ( 4 ; 3)

Конечно! Давайте разберем, как получить уравнение окружности с данными координатами точек M и N.

Уравнение окружности в канонической форме:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

где \((x_0, y_0)\) — координаты центра окружности, а \(r\) — радиус.

а) Точки M (3, -5) и N (7, -3)

1. Найдем координаты центра окружности: Центр окружности находится на середине отрезка MN. Вычислим его координаты:

   \[ x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-5 + (-3)}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

   Таким образом, центр окружности \((5, -4)\).

2. Находим радиус: Радиус - это половина длины отрезка MN. Длину отрезка MN можно найти по формуле:

   \[ d = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(7 - 3)^2 + (-3 + 5)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

   Поэтому радиус \(r\) равен:

   \[ r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \]

3. Записываем уравнение окружности:

   Подставляя \(x_0\), \(y_0\) и \(r\) в уравнение окружности:

   \[ (x - 5)^2 + (y + 4)^2 = (\sqrt{5})^2 \] \[ (x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 5 \]

б) Точки M (2, -1) и N (4, 3)

1. Найдем координаты центра окружности:

   \[ x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

   Центр окружности \((3, 1)\).

2. Находим радиус:

   \[ d = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

   Радиус:

   \[ r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \]

3. Записываем уравнение окружности:

   Подставляя в уравнение:

   \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 \] \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 \]

Ответы:

а) \((x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 5\)
б) \((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5\)