"Середины сторон ромба ABCD являются вершинами четырехугольника KLMN. Середины сторон KLMN — четырехугольника PQRS. Найдите отношение площади…

Классно, давай разберёмся по шагам и покажем, почему ответ 0,25 неверен и как получить правильное значение.

Разбор задачи и решение по шагам

1. Свойства: ABCD — ромб. К серединам его сторон (AB, BC, CD, DA) ставим K, L, M, N. По теореме Вариньяна (о серединах сторон произвольного четырёхугольника) получаем, что KLMN — параллелограмм. В ромбе диагонали ACC и BD перпендикулярны (AC ⟂ BD), а

   • KL ∥ AC (потому что KL — середина стороны AB и BC, прямолинейно в направлении диагонали AC),
   • KN ∥ BD (аналогично – через стороны AB и AD). Следовательно, KL ⟂ KN, и KLMN — прямоугольник.

2. Пословие: PQRS — середины сторон прямоугольника KLMN. В таком случае PQRS образует ромб (это можно проверить на координатах: диагонали PQRS равны KL и LM, и площадь ромба равна половине произведения диагоналей). Но главное для нас – отношение площадей, и из этого следует: S(PQRS) = (KL · LM)/2 = (1/2) · S(KLMN).

3. Связь площадей ABCD и KLMN: по Варинъону S(KLMN) = (1/2) · S(ABCD) для любого четырёхугольника. Следовательно, S(ABCD) = 2 · S(KLMN).

4. Соединяем: S(PQRS) = (1/2) · S(KLMN) и S(ABCD) = 2 · S(KLMN). Делим: S(ABCD) / S(PQRS) = [2 · S(KLMN)] / [(1/2) · S(KLMN)] = 4.

Итак, отношение площади ромба ABCD к площади PQRS равно 4.

Почему мой ответ 0,25 неверен

• Твоё число 0,25 — это, скорее всего, отношение площади PQRS к площади ABCD (S(PQRS) / S(ABCD) = 1/4). Но задача просила отношение площади ромба ABCD к площади PQRS, то есть S(ABCD) / S(PQRS) = 4. Так что ответ нужно перевернуть.

Хочешь ещё пару вариантов решения (например, через координаты или через диагонали в прямоугольнике KLMN)? Или продолжим с ещё одним примером и проверками?

Пожалуйста, оцените мой ответ лайком или дизлайком.