В некотором городе живут 200 человек:рыцари и лжецы.Рыцари всегда говорят правду,а лжецы всегда лгут.Каждый житель города имеет одно увлечение:рисование,пение или танцы.Опросили каждого жителя города и задали три вопроса:1)Увлекаетесь ли вы рисованием? 2)Увлекаетесь ли вы пением? 3)Увлекаетесь ли вы танцами? На первый вопрос отрицательно ответили 70 человек,на второй 120 человек и на третий 130 человек.Сколько лжецов живёт в городе?

Решение задачи с объяснениями. Обозначения: - Пусть в городе K рыцарей (говорят правду), L лжецов (всегда лгут). K + L = 200. - У каждого жителя есть один из трёх увлечений: рисование (D), пение (S), танцы (T). - Пусть для рыцарей увлечения распределены так: D_K рыцарей рисуют, S_K рыцарей поют, T_K рыцарей танцуют. Для лжецов: D_L, S_L, T_L соответственно. - Всего рыцарей: D_K + S_K + T_K = K. Всего лжецов: D_L + S_L + T_L = L. Рассмотрим ответы на каждый вопрос. - Q1: “Вы увлекаетесь рисованием?” - Рыцари, увлекающиеся рисованием, ответят "Да". - Рыцари, не увлекающиеся рисованием, ответят "Нет". - Лжецы, увлекающиеся рисованием, ответят "Нет". - Лжецы, не увлекающиеся рисованием, ответят "Да". => Число ответивших "Нет" на Q1: D_L (лжецы, рисующие) + (K − D_K) (рыцари, не рисующие) = 70. - Q2: “Вы увлекаетесь пением?” => S_L + (K − S_K) = 120. - Q3: “Вы увлекаетесь танцами?” => T_L + (K − T_K) = 130. Сложим три равенства: (D_L + (K − D_K)) + (S_L + (K − S_K)) + (T_L + (K − T_K)) = 70 + 120 + 130 = 320. Левая часть делится на две части: - (D_L + S_L + T_L) = L - (K − D_K) + (K − S_K) + (K − T_K) = 3K − (D_K + S_K + T_K) = 3K − K = 2K Итого: 320 = L + 2K. Но L = 200 − K, поэтому: 320 = (200 − K) + 2K = 200 + K ⇒ K = 120. Следовательно, L = 200 − K = 80. Ответ: в городе живёт 80 лжецов.