построй график функции y=x^-1/3 по алгебре за 10 класс

Цель: понять и построить график функции y = x^(-1/3) (для 10-го класса алгебры).

Кратко о функции

• y = x^(-1/3) = 1 / (x^(1/3)) = 1 / cuberoot(x).
• Кубическая корень cube_root(x) определён для всех x, но знаменатель не может быть нулём. Значит домен графика: x ≠ 0.
• По свойству x^(1/3) = cube_root(x): f(-x) = (-x)^(-1/3) = -1 / cube_root(x) = -f(x). График симметричен относительно начала координат (один оборот на 180 градусов).

Аналитика графика

• Асимптоты и пределы:
  • Вертикальная асимптота: x = 0. При x → 0+ y → +∞; при x → 0− y → −∞.
  • Горизонтальная асимптота: y = 0. При x → +∞ и x → −∞ y → 0 (с положительных и отрицательных сторон соответственно).
• Монотонность: производная f'(x) = -(1/3) x^(-4/3) = -(1)/(3 x^(4/3)).
  • Для любого x ≠ 0 x^(4/3) > 0, значит f'(x) < 0. Обе ветви убывают по мере движения вправо.
• Ветви графика:
  • Правая ветвь (x > 0): y > 0, уменьшается от +∞ при x → 0+ к 0+ при x → +∞.
  • Левая ветвь (x < 0): y < 0, уменьшается от −∞ при x → 0− к 0− при x → −∞.
• Точки для построения:
  • x = 1 → y = 1
  • x = 8 → y = 1/2
  • x = 27 → y ≈ 1/3
  • x = 0.125 (1/8) → y = 2
  • Левый аналог: x = −1 → y = −1
  • x = −8 → y ≈ −1/2
  • x = −27 → y ≈ −1/3

Как построить график (пошагово)

1. Нарисуйте координатную сетку. Отметьте ось x и ось y.
2. Отметьте вертикальную асимптоту x = 0 и горизонтальную y = 0.
3. Постройте правую ветвь (x > 0): возьмите точки (1,1), (8,0.5), (27, ~0.333) и т. д. Ведите плавную кривую, которая убывает к 0 при большем x и тяготеет к бесконечности при x → 0+.
4. Постройте левую ветвь (x < 0): симметрично по отношению к началу координат, т. е для (-1, -1), (-8, -0.5), (-27, ~-0.333) и так далее. Это будет вторая ветвь, уходящая к −∞ при x → 0− и к 0− при x → −∞.
5. Убедитесь: нет пересечений с осью y (нет x-подобной точки, где y = 0), обе ветви уходят к горизонтальной оси y = 0 на бесконечности.

Короткое резюме

• График состоит из двух ветвей, каждая монotinно убывает, ветви не пересекают ось y, вертикальная асимптота в x = 0, горизонтальная в y = 0.
• График симметричен относительно начала координат: f(-x) = -f(x).
• Типично для y = 1 / cube_root(x): две ветви, переход через бесконечность при x близком к 0.

Если хотите, могу привести готовую таблицу точек или нарисовать упрощённый набросок графика в виде ASCII-изображения.