Вот наглядный пример множества в теме вероятность и статистика.
Задача: на игральной кости с шестью сторонами рассмотреть множества исходов и посчитать вероятности.
Условия:
- Эксперимент: бросок одной шестигранной кости.
- Множество исходов (полнное пространство, Ω): Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Множество A: результат ≥ 4, то есть A = {4, 5, 6}.
- Множество B: чётный результат, то есть B = {2, 4, 6}.
Найти:
- P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B) и условную вероятность P(A | B).
Решение по шагам:
1) Размеры множеств и простые вероятности
- |Ω| = 6.
- A состоит из 3 элементов: |A| = 3.
- B состоит из 3 элементов: |B| = 3.
- A ∩ B = {4, 6}, значит |A ∩ B| = 2.
- A ∪ B = {2, 4, 5, 6}, значит |A ∪ B| = 4.
2) Вероятности
- P(A) = |A| / |Ω| = 3 / 6 = 1/2.
- P(B) = |B| / |Ω| = 3 / 6 = 1/2.
- P(A ∩ B) = |A ∩ B| / |Ω| = 2 / 6 = 1/3.
- P(A ∪ B) = |A ∪ B| / |Ω| = 4 / 6 = 2/3.
3) Условная вероятность
- P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = (2/6) / (3/6) = 2/3.
Интерпретация:
- Вероятность того, что выпадает число ≥ 4 — 1/2.
- Вероятность того, что число чётное — 1/2.
- Вероятность того, что число либо чётное, либо ≥ 4 (или оба) — 2/3.
- Условная вероятность того, что число ≥ 4 при условии, что число чётное, равна 2/3.
Дополнительное задание (по желанию):
- Найдите P(A' ), P(A' ∩ B) и P(A' ∪ B), где A' — дополнение к A.
- Пробуйте аналогично для другой задачи: например, взять колоду карт и рассмотреть похожие множества A и B.
