Задача Задача №3504266
А
А
Точка K — середина стороны AD квадрата ABCD , а точка L на стороне AB такова, что BL = 3AL . Докажите, что CK — биссектриса угла DCL .
Вот подробное решение задачи с шагами.
Цель: показать, что CK является биссектором угла DCL.
- Ввод координат (выбираем удобную размерность квадрата)
- Пусть квадрат ABCD имеет сторону равную 4. Тогда можно взять A(0,0), B(4,0), C(4,4), D(0,4).
- Точка K — середина AD, значит K находится на середине от A до D: K(0,2).
- Точка L лежит на AB и удовлетворяет BL = 3 AL. Пусть AL = t, тогда BL = 4 − t. Условие 4 − t = 3t дает t = 1. Следовательно, L(1,0).
- Векторы, образующие угол в точке C
- Вектор CD = D − C = (0 − 4, 4 − 4) = (−4, 0).
- Вектор CL = L − C = (1 − 4, 0 − 4) = (−3, −4).
- Вектор CK = K − C = (0 − 4, 2 − 4) = (−4, −2).
- Проверка равенства углов через косинусы
Угол ∠DCK образован векторами CD и CK. • CD · CK = (−4,0) · (−4,−2) = 16. • |CD| = √((-4)^2 + 0^2) = 4. • |CK| = √((-4)^2 + (−2)^2) = √(16 + 4) = √20. • cos ∠DCK = (CD · CK) / (|CD||CK|) = 16 / (4·√20) = 4 / √20 = 2 / √5.
Угол ∠KCL образован векторами CK и CL. • CK · CL = (−4,−2) · (−3,−4) = 12 + 8 = 20. • |CL| = √((-3)^2 + (−4)^2) = √(9 + 16) = 5. • cos ∠KCL = (CK · CL) / (|CK||CL|) = 20 / (√20 · 5) = 4 / √20 = 2 / √5.
Так как косинусы обеих величин равны, углы ∠DCK и ∠KCL равны. Значит CK является бисектрисой угла DCL.
- Дополнительное замечание (рациональное объяснение без вычислений) Угол DCL образуют стороны CD и CL. Направление бисектрисы этого угла совпадает с направлением суммы единичных векторов вдоль CD и CL. Единичные векторы по сторонам в точке C имеют направления:
- вдоль CD: u1 = CD / |CD| = (−1, 0),
- вдоль CL: u2 = CL / |CL| = (−3/5, −4/5). Сумма u1 + u2 пропорциональна вектору (−2, −1), то есть направление CK = (−4, −2) совпадает с направлением биссектора. Это еще раз confirms, что CK делит угол DCL пополам.
Итого, CK действительно является биссектрисой угла DCL.
