В трапеции ABCD с основаниями AD и BC, AD>BC, перпендикулярны диагонали. Известно, что ∠BDA=30∘ и AC=7 . Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: средняя линия трапеции равна 7.

Пошаговое решение

1. Обозначения и координаты

• Пусть AD и BC — основания трапеции, AD > BC.
• Разместим трапецию так, чтобы AD лежала на оси x: A(0,0), D(d,0). Две точки на верхнем основании: B(t, h) и C(t + b, h), где BC = b, высота h, AB и CD — боковые стороны.

2. Условие угла BDA = 30°

• Вектор DA направлен от D к A: (-d, 0) (по оси x влево).
• Вектор DB направлен от D к B: (t − d, h).
• Угол между DA и DB равен 30°, значит tan(30°) = h / (d − t). Поэтому h = (d − t) / √3. Следовательно h^2 = (d − t)^2 / 3.

3. Диагонали перпендикулярны

• Наклон AC: m_AC = h / (t + b).
• Наклон BD: m_BD = (0 − h) / (d − t) = −h / (d − t).
• Перпендикулярность: m_AC · m_BD = −1. Это дает h^2 = (t + b)(d − t).

4. Совмещение условий

• Из шага 2: h^2 = (d − t)^2 / 3.
• Из шага 3: h^2 = (t + b)(d − t).
• При (d − t) ≠ 0 делим на (d − t): (d − t) / 3 = t + b. Отсюда d − t = 3(t + b).

5. Использование длины AC

• AC = 7, поэтому AC^2 = (t + b)^2 + h^2 = 49.
• Из предыдущего пункта h^2 = (d − t)^2 / 3 = [3(t + b)]^2 / 3 = 3(t + b)^2.
• Подставляя: (t + b)^2 + 3(t + b)^2 = 4(t + b)^2 = 49 → t + b = 7/2 (берём положительное значение).

6. Найдём сумму длин оснований

• из d − t = 3(t + b) получаем d − t = 3 · (7/2) = 21/2.
• Тогда d + b = (d − t) + (t + b) = 21/2 + 7/2 = 28/2 = 14.
• Средняя линия трапеции L = (AD + BC) / 2 = (d + b) / 2 = 14 / 2 = 7.

Ответ: средняя линия трапеции равна 7.