Y=x²+4x-21

Задача: y = x^2 + 4x - 21 Цель: понять структуру этого квадратного многочлена и найти корни, форму параболы и другие характеристики. Пошаговое решение (несколько способов на выбор) 1) Факторизация (быстрый способ для корней) - Нужно найти два числа, произведение которых равно -21, а сумма — 4. - Эти числа: 7 и -3, потому что 7 * (-3) = -21 и 7 + (-3) = 4. - Следовательно, x^2 + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3). - Чтобы найти корни, приравниваем y к 0: (x + 7)(x - 3) = 0 ⇒ x = -7 или x = 3. - Вывод: корни уравнения x^2 + 4x - 21 = 0 — x = -7 и x = 3. 2) Полное квадратирование (форма «квадрат суммы») - Перепишем: x^2 + 4x - 21 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 21 = (x + 2)^2 - 25. - Это аргумент параболы в форме y = (x + 2)^2 - 25 (форма параболы со смещением). - В этой форме можно увидеть вершину: вершина находится в x = -2, и значение y при вершине равно -25. - Значит парабола открывается вверх (коэффициент перед (x+2)^2 положительный) и имеет минимальное значение -25 в точке x = -2. - Корни можно решить из (x + 2)^2 - 25 = 0: (x + 2)^2 = 25 ⇒ x + 2 = ±5 ⇒ x = 3 или x = -7 (совпадает с первым способом). 3) Дискриминант и формула корней (общий метод) - Параболу вида y = ax^2 + bx + c с a = 1, b = 4, c = -21 можно решить через дискриминант: D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4·1·(-21) = 16 + 84 = 100. - Корни: x = (-b ± sqrt(D)) / (2a) = (-4 ± 10) / 2. - Получаем x = (-4 + 10)/2 = 6/2 = 3 и x = (-4 - 10)/2 = -14/2 = -7. - Сопоставимо с вариантами выше. Характеристики параболы (для более полного понимания) - Функция: y = x^2 + 4x - 21 открывается вверх (a = 1 > 0). - Ось симметрии: x = -b/(2a) = -4/2 = -2. - Вершина: (-2, -25). - Пересечение с осью y: при x = 0 получаем y = -21. - Корни: x = -7 и x = 3 (соответствуют точкам пересечения графика параболы с осью x). Короткий ответ - Корни уравнения x^2 + 4x - 21 = 0: x = -7 и x = 3. - Вершина параболы: (-2, -25). - Ось симметрии: x = -2. - Уравнение в форме квадрата: y = (x + 2)^2 - 25. - Значение y при x = 0: y = -21. Если хочешь, могу привести ещё примеры с такими же методами на похожих выражениях для закрепления.