Варя часто гуляет со своей подружкой Леной. Но иногда ей звонит мама и говорит, что пора домой. Варя может уговорить маму дать ей погулять ещё столько же времени, сколько гуляла,…
Варя часто гуляет со своей подружкой Леной. Но иногда ей звонит мама и говорит, что пора домой. Варя может уговорить маму дать ей погулять ещё столько же времени, сколько гуляла, потому что она получила пятёрку по информатике. Мама может согласиться, а может разозлиться и сказать, чтобы Варя через 5 минут была дома. Решения мамы можно пронумеровать: 1. гуляй ещё столько же, сколько гуляла 2. через 5 минут нужно быть дома Варя и Лена до первого звонка мамы гуляли уже 2 часа. Составьте последовательность решений мамы, чтобы общее время прогулки составило 4 с половиной часа. При этом звонков должно быть ровно 5.
Назначение задачки понятное: после каждого звонка мама может либо увеличить общее время прогулки вдвое (опция 1), либо добавить ещё 5 минут (опция 2). Начинаем с t0 = 2 часа и хотим получить t5 = 4,5 часа за 5 звонков.
Условия обновления:
- Если выбрать опцию 1: t_k = 2 · t_{k-1}
- Если выбрать опцию 2: t_k = t_{k-1} + 5 минут = t_{k-1} + 1/12 часа
Поиск последовательности решений можно сделать двумя способами. Легче увидеть через обратный ход от t5 = 4,5 часа.
- Обратное построение (от конца к началу)
- t5 = 4,5 ч. Если последняя операция была опцией 2, то t4 = t5 − 5 мин = 4,416666… ч.
Тогда предыдущие шаги:
t4 = t3 + 5 мин → t3 = 4,333333… ч.
Теперь у нас есть две возможности для t3:
- если опция на шаге 3 была удвоение: t2 = t3/2 = 2,166666… ч
- если опция на шаге 3 была прибавление: t2 = t3 − 5 мин = 4,25 ч Разберём вариант, который в итоге подходит к начальному t0 = 2 ч.
- Продолжим по пригодному варианту
- Пусть на шаге 3 была опция 2 (прибавление). Тогда t2 = 4,25 ч. Но это уже сложно связать с t0 = 2 ч за 2 оставшихся шага.
- Возьмём более удачный путь: на шаге 3 была опция 1 (удвоение), тогда t2 = 2,166666… ч. Далее: на шаге 2 берем опцию 2 (прибавление): t1 = t2 − 5 мин = 2,083333… ч. Наконец на шаге 1 надо прийти к t0 = 2 ч: t1 = t0 + 5 мин → t0 = 2,0 ч (совпадает).
Итоговая последовательность действий мамы (от шага 1 к 5):
- Шаг 1: добавить 5 минут (опция 2)
- Шаг 2: добавить 5 минут (опция 2)
- Шаг 3: удвоить время (опция 1)
- Шаг 4: добавить 5 минут (опция 2)
- Шаг 5: добавить 5 минут (опция 2)
Проверка последовательности (пошагово):
- До первого звонка: t0 = 2 ч
- После 1-го звонка (опция 2): t1 = 2 ч 5 мин
- После 2-го звонка (опция 2): t2 = 2 ч 10 мин
- После 3-го звонка (опция 1): t3 = 4 ч 20 мин
- После 4-го звонка (опция 2): t4 = 4 ч 25 мин
- После 5-го звонка (опция 2): t5 = 4 ч 30 мин = 4,5 ч
Ответ
- Последовательность решений мамы: 2, 2, 1, 2, 2
- Времена после каждого звонка: 2 ч 5 мин → 2 ч 10 мин → 4 ч 20 мин → 4 ч 25 мин → 4 ч 30 мин
Задача выполнена: за 5 звонков общее время прогулки стало 4,5 часа.
