√(9-4√5)

Задача: √(9 - 4√5)

Цель: понять решение подробно.

Пошаговое решение

1. Попробуем представить radicand как квадрат двучлена вида (√a - √b)^2. Раскрывая квадрат: (√a - √b)^2 = a + b - 2√(ab).

2. Приравниваем к данному радикалу: a + b = 9, 2√(ab) = 4√5 → √(ab) = 2√5 → ab = 20.

3. Найдём a и b такие, чтобы их сумма была 9, произведение 20. Решение уравнения t^2 - 9t + 20 = 0 даёт t = 4 и t = 5. Значит {a, b} = {4, 5}.

4. Следовательно, 9 - 4√5 = (√5 - 2)^2.

5. Корень квадратный из квадрата равен неотрицательному значению: √(9 - 4√5) = √((√5 - 2)^2) = |√5 - 2| = √5 - 2 так как √5 > 2.

Ответ: √(9 - 4√5) = √5 - 2.