Вот корректная пунктуация и разбор по шагам.
Корректная версия: Уже в номере, когда Владислав Григорьевич, пролистав стенограмму, сказал: «хоть здесь зафиксирован неуслышанный наш крик души…», я лучше понимал его состояние и слова стенографистки.
Пояснения по шагам:
Главная часть предложения — «я лучше понимал его состояние и слова стенографистки». Остальные части — обстоятельство времени и придаточное предложение.
Придаточное времени начинается после вводного обстоятельства «Уже в номере» — «когда Владислав Григорьевич, пролистав стенограмму, сказал».
Деепричастный оборот «пролистав стенограмму» является вставным/необязательным и отделяется запятыми с двух сторон: «Владислав Григорьевич, пролистав стенограмму, сказал».
Перед прямой речью ставится двоеточие: «сказал: «...».»
В самой речи буква в начале цитаты — с маленькой буквы «хоть», так как это придаточное предложение внутри цитаты и начинается не как самостоятельное предложение.
В кавычках стоит фрагмент с многоточием: «хоть здесь зафиксирован неуслышанный наш крик души…».
Запятая после закрывающей кавычки ставится, потому что далее идёт продолжение главного предложения: «..., я лучше понимал...».
Если нужно, можно рассмотреть альтернативу без деепричастного оборота: Уже в номере, когда Владислав Григорьевич пролистал стенограмму и сказал: «хоть здесь зафиксирован неуслышанный наш крик души…», я лучше понимал его состояние и слова стенографистки. Но исходная формулировка с оборотом «пролистав стенограмму» требует двух запятых вокруг оборота.