В соревнованиях по шахматам каждый участник сыграл ровно по 1 игре со всеми остальными участниками, в результате всех игр ничьи отсутствовали, оказалось, что 5% всех участников не…
В соревнованиях по шахматам каждый участник сыграл ровно по 1 игре со всеми остальными участниками, в результате всех игр ничьи отсутствовали, оказалось, что 5% всех участников не выиграли участие в соревнованиях?
Разберём задачу пошагово.
Пусть в соревновании участвует n участников. Каждый сыграл с каждым ровно одну партию, ничьих нет (в каждой партии есть победитель и проигравший).
Обозначим k — число участников, которые не выиграли ни одной партии. По условию дано, что k = 5% от всех участников: k = 0.05 n.
Важное свойство турнира без ничьих: не может быть двух участников, у которых в итоге не было ни одной победы. Если бы было два таких игрока, они встретились бы между собой, и одна из партий всё равно закончилась бы победой одного из них. Значит:
- k ≤ 1.
Из пункта 2 и пункта 3 получаем:
- 0.05 n ≤ 1.
- Следовательно, n ≤ 20.
- И чтобы k было целым числом, 0.05 n целое число, то n должно быть кратно 20. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, — n = 20.
Проверка возможности: если в турнире 20 участников и ровно один участник не выиграл ни одной партии, то он проиграл всем остальным 19 партиям. Остальные 19 участников побеждают этого игрока в его 19 партиях, а между собой результаты могут быть любыми; каждый из них уже имеет как минимум одну победу (над этим игроком). Значит условие "5% не выиграли ни одной партии" выполнимо.
Вывод: количество участников — 20.
