сделать рисунок к задаче Прямоугольник с диагональю 24 вращают вокруг одной из сторон, другая сторона составляет с этой диагональю угол 60'. Найдите площадь основания полученного…

Идея решения и рисунок (описание для рисования)

• Пусть прямоугольник ABCD лежит в плоскости. Пусть AB — одна из сторон, вокруг которой будем вращать; длина AB = a. Противоположная сторона CD имеет длину тоже a. Пусть BC — другая сторона, длина BC = b (высота прямоугольника). Диагональ AC имеет длину d = 24.
• Угол между диагональю AC и стороной BC равен 60°. В треугольнике ABC угол при вершине C равен 60°, и в этом треугольнике:
  • гипотенуза AC имеет длину d = 24,
  • прилегающая к углу сторона BC имеет длину b. Следовательно, cos(60°) = BC/AC = b/d. Значит b = d cos 60° = 24 · 1/2 = 12.
• По теоремe Пифагора в треугольнике ABC: AB^2 + BC^2 = AC^2 a^2 + b^2 = d^2 ⇒ a^2 = 24^2 − 12^2 = 576 − 144 = 432 => a = sqrt(432) = 12√3.

Итак, стороны прямоугольника: AB = a = 12√3, BC = b = 12, диагональ d = 24.

Рисунок (упрощенно ascii-вид)

• Рубежьте прямоугольник ABCD так, чтобы AB была верхней стороной (Axis), BC — вертикальная боковая сторона.

• Диагональ AC проведена от A до C и образует угол 60° с BC в точке C.

  A-----------B | \
  | \
  D-----------C (AC — диагональ длиной 24; ∠(AC, BC) = 60°; AB = a = 12√3; BC = b = 12)

Детали решения задачи

• При вращении фигуры вокруг стороны AB образуется цилиндр:
  • высота цилиндра равна длине оси вращения: h = AB = a = 12√3.
  • радиус основания равен расстоянию от оси AB до противоположной стороны CD, то есть длине BC: r = b = 12.
• Площадь основания цилиндра Sосн = π r^2 = π · 12^2 = 144π.
• Требуется найти Sосн / π = r^2 = 12^2 = 144.

Ответ: 144.