площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты тругольника?

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, зная его площадь и гипотенузу, можно использовать следующие шаги:

1. Дано:

   • Площадь \( S = 24 \, \text{см}^2 \)
   • Гипотенуза \( c = 10 \, \text{см} \)

2. Формула площади прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника.

   Подставляем значение площади: \[ 24 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Умножаем обе стороны на 2: \[ 48 = a \cdot b \quad (1) \]

3. Формула для гипотенузы (по теореме Пифагора): \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставляем значение гипотенузы: \[ 10^2 = a^2 + b^2 \] \[ 100 = a^2 + b^2 \quad (2) \]

4. Решение системы уравнений: Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2):

   • Уравнение (1): \( ab = 48 \)
   • Уравнение (2): \( a^2 + b^2 = 100 \)

   Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = \frac{48}{a} \]

   Подставим это значение во второе уравнение: \[ a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100 \] Упрощаем: \[ a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100 \] Умножаем обе стороны на \( a^2 \) (принимаем, что \( a \neq 0 \)): \[ a^4 - 100a^2 + 2304 = 0 \]

   Обозначим \( x = a^2 \), тогда уравнение примет вид: \[ x^2 - 100x + 2304 = 0 \]

5. Решаем квадратное уравнение: Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{100 \pm 28}{2} \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{128}{2} = 64, \quad x_2 = \frac{72}{2} = 36 \]

   Таким образом, \( a^2 = 64 \) или \( a^2 = 36 \). Значит: \[ a = 8 \quad \text{или} \quad a = 6 \]

6. Определяем катеты: Если \( a = 8 \), то \( b = \frac{48}{8} = 6 \). Если \( a = 6 \), то \( b = \frac{48}{6} = 8 \).

Таким образом, катеты треугольника равны \( 6 \, \text{см} \) и \( 8 \, \text{см} \).