диагональ параллелограмма равный 15 м перпендикулярна к стороне параллелограмма равной 12 найди площадь параллелограмма рисунок
Задача: диагональ AC = 15 м перпендикулярна к стороне AB = 12 м. Найти площадь параллелограмма.
Пояснение и решение по шагам
- Обозначим стороны и угол
- AB = a = 12
- BC = b (не знаем)
- Угол между AB и BC обозначим как θ
Условие перпендикулярности Так как AC = AB + BC и AC ⟂ AB, то (AB + BC) · AB = 0. Это даёт: AB·AB + BC·AB = 0 → a^2 + a b cosθ = 0 Отсюда cosθ = -a / b.
Длина диагонали AC AC^2 = |AB + BC|^2 = a^2 + b^2 + 2 AB·BC = a^2 + b^2 + 2ab cosθ. Подстановка cosθ = -a/b даст: AC^2 = a^2 + b^2 + 2ab(-a/b) = b^2 - a^2.
Подстановка известных значений AC = 15, a = 12 ⇒ AC^2 = 225. Тогда 225 = b^2 - 12^2 = b^2 - 144 → b^2 = 369 → b = sqrt(369) (значение b не обязательно записывать полностью для дальнейших вычислений).
Площадь параллелограмма Площадь S = a b sinθ. Из cosθ = -a/b получаем sinθ = sqrt(1 - cos^2θ) = sqrt(1 - a^2/b^2) = sqrt((b^2 - a^2)/b^2) = AC / b = 15 / b. Тогда S = a b (15 / b) = a · 15 = 12 · 15 = 180.
Ответ: площадь параллелограмма равна 180 м².
Коротко: площадь получается просто умножением данных длины стороны и диагонали: S = a · d = 12 · 15 = 180. Рисунок можно представить так: параллелограмм ABCD, AB = 12, BC = b, диагональ AC = 15 перпендикулярна AB.
