В треугольнике ABC угол BAC= 2 углам BCA, AB=16,AC=25.Найдите сторону BC Ответ нейросети

Задача: в треугольнике ABC ∠BAC = 2·∠BCA, AB = 16, AC = 25. Найти BC.

Решение по шагам

• Обозначим углы: γ = ∠C = ∠BCA, α = ∠A = ∠BAC = 2γ, β = ∠B. Тогда β = 180° − α − γ = 180° − 3γ.

• По признаку синусов стороны равны пропорциональны своим синусам: AB = c = 16 против γ, AC = b = 25 против β, BC = a против α. Значит b/c = sin β / sin γ. Так как β = 180° − 3γ, sin β = sin 3γ. Получаем: 25/16 = sin 3γ / sin γ.

• Используем формулу sin 3γ = 3 sin γ − 4 sin^3 γ. Тогда sin 3γ / sin γ = 3 − 4 sin^2 γ. Следовательно 25/16 = 3 − 4 sin^2 γ. Отсюда 4 sin^2 γ = 3 − 25/16 = 23/16, значит sin^2 γ = 23/64.

• Берём положительную синусу для acute γ: sin γ = √23 / 8. Тогда cos γ = √(1 − sin^2 γ) = √(1 − 23/64) = √41 / 8.

• Найдём sin α = sin(2γ) = 2 sin γ cos γ = 2 · (√23/8) · (√41/8) = √943 / 32.

• По той же теореме синусов отношение a/c равно sin α / sin γ. Значит a = c · (sin α / sin γ) = 16 · ( (√943/32) / (√23/8) ) = 16 · (√943/32) · (8/√23) = 16 · (√943 / (4√23)) = 4 · (√943 / √23) = 4 · √(943/23) = 4 · √41.

Итак, BC = a = 4√41 ≈ 25.6.