"Фаина, по приезде в глазное отделение, оставила героиню одну и скрылась за дверью, а когда вернулась, объявила, что у девочки опухоль мозга" а здесь нужна запятая у "по приезде"?

Коротко: запятая вокруг части "по приезде в глазное отделение" не нужна. Правильно будет без этих обособлений.

Правильная версия: Фаина по приезде в глазное отделение оставила героиню одну и скрылась за дверью, а когда вернулась, объявила, что у девочки опухоль мозга.

Пояснение по правилам:

• "по приезде в глазное отделение" является обстоятельством времени к сказуемому "оставила". Это не вводное или обособляемое вставное предложение, а часть смысла предложения. Обособлять такие обстоятельства не требуется, если оно тесно связано со сказуемым и не стоит в роли дополнительной, вставной информации.
• Вторая часть предложения содержит два придаточных: придаточное времени "когда вернулась" и придаточное изъяснительное "что у девочки опухоль мозга". После них ставятся запятые: ...а когда вернулась, объявила, что у девочки опухоль мозга.
• Пример с вставной инверсией: если нужно подчеркнуть момент прибытия, можно перестроить: "Фаина, по приезде в глазное отделение, оставила ..." Но это уже стилистическая вставка и обычно пишут без запятых.

Дополнительно для практики:

• Пример без запятой: По приезде в школу он сразу начал уроки.
• Пример с вставкой (менее обычный стиль): Фаина, по приезде в глазное отделение, оставила... (можно, но это придает фрагменту вставной оттенок и звучит не так естественно в обычной прозе).