1. Концы стальной балки площадью поперечного сечения 150 см" наглухо закреплены в двух опорах, препятствующих удлинению балки. На сколько должна повыситься температура балки,…

Ниже решения по каждому пункту с пошаговыми объяснениями. Я буду явно использовать типичные табличные значения коэффициентов и модуля упругости там, где они не приведены в условии.

Дополнительно: для твердых металлов приняты приближенные нормированные значения

• Сталь: E ≈ 210 ГPa, коэффициент линейного расширения α ≈ 12×10^-6 /K
• Цинк: α ≈ 30×10^-6 /K
• Медная: α ≈ 16.5×10^-6 /K → β(объем) ≈ 3α ≈ 49.5×10^-6 /K
• Стекло: α ≈ 9×10^-6 /K → β(объем) ≈ 3α ≈ 27×10^-6 /K

1. Концы стальной балки: сила давления на опору при повышении температуры Задача: балка длиной L с поперечным сечением площадью A = 150 см^2 закреплена так, что удлинение невозможно. Какое изменение температуры ΔT даст давление F = 1.4·10^3 кН на опору?

Шаги решения

• При отсутствии удлинения возникает термомеханическое напряжение σ = E · ε_mech, где механическая деформация ε_mech компенсирует термическую: ε_mech = -α ΔT.
• Следовательно, напряжение и сила: σ = -E α ΔT, F = σ A = E A α ΔT.
• Из этого ΔT = F / (E A α).

Подстановка (практические числа)

• F = 1.4·10^3 кН = 1.4·10^6 Н
• A = 150 см^2 = 150 × 10^-4 м^2 = 0.015 м^2
• E_сталь ≈ 210 ГПа = 210 × 10^9 Па
• α_сталь ≈ 12 × 10^-6 /K

Расчёт

• E A α = 210e9 × 0.015 × 12e-6 ≈ 210e9 × 0.015 = 3.15e9; 3.15e9 × 12e-6 ≈ 3.78e4
• ΔT ≈ 1.4e6 / 3.78e4 ≈ 37–38 К

Ответ: примерно ΔT ≈ 37–38 °C (около 37 °C, при α = 12×10^-6 /K; если α немного больше, ΔT может быть ≈39 °C).

2. Увеличение площади цинкового листа Задача: при 0 °C размер 120×70 см; нагрев до 100 °C. На сколько увеличится площадь?

Шаги решения

• Площадь растёт примерно как A ≈ A0 (1 + 2α ΔT) при малых удлинениях по двум взаимно перпендикулярным направлениям.
• ΔA ≈ 2 α ΔT A0, где A0 = 120 cm × 70 cm = 8400 cm^2.

Подстановка

• α_Zn ≈ 30 × 10^-6 /K
• ΔT = 100 K
• ΔA = 2 × 30e-6 × 100 × 8400 = 0.006 × 8400 = 50.4 cm^2

Ответ: площадь увеличится примерно на 50.4 cm^2 (до нового значения ≈ 8450.4 cm^2).

3. Объём стального куба Задача: при 0 °C куб объём V0 = 800,0 cm^3. Вычислить V при 200 °C.

Шаги решения

• Объёмная линейная терм opeрация: V ≈ V0 (1 + β ΔT), где β ≈ 3 α (для однородного материала).
• α_сталь ≈ 12×10^-6 /K → β ≈ 36×10^-6 /K
• ΔT = 200 K

Расчёт

• ΔV = β V0 ΔT = 36e-6 × 800 × 200 = 36e-6 × 160000 = 5.76 cm^3
• V ≈ 800.0 + 5.76 = 805.76 cm^3

Ответ: V ≈ 805.8 cm^3.

4. Объём медного шара при нагревании Задача: при 0 °C диаметр шара D0 = 200 mm. На сколько увеличится его объём при нагревании до 100 °C?

Шаги решения

• Исходим из V = (π/6) D^3 для шара.
• Объём расширяется по β ≈ 3 α_Cu. α_Cu ≈ 16.5×10^-6 /K → β ≈ 49.5×10^-6 /K.
• ΔT = 100 K; D0 = 200 mm = 20 cm = 0.20 m. Но удобнее работать в см: D0 = 20 cm.
• V0 = (π/6) D^3 = (π/6) × 20^3 cm^3 = (π/6) × 8000 = 4188.79 cm^3.

Расчёт

• ΔV = β V0 ΔT = 49.5e-6 × 4188.79 × 100 ≈ 20.7 cm^3
• V ≈ 4188.8 + 20.7 = 4209.5 cm^3

Ответ: объём увеличится примерно на 20.7 cm^3; новый объём ≈ 4209.5 cm^3.

5. Вместимость стеклянной банки при охлаждении Задача: при 50 °C вместимость V0 = 3500 cm^3. На сколько уменьшится при охлаждении до 10 °C?

Шаги решения

• Для стекла β ≈ 3 α, возьмём α стекла ≈ 9×10^-6 /K → β ≈ 27×10^-6 /K.
• ΔT = 10 °C − 50 °C = -40 K; то есть охлаждение на 40 K.
• ΔV = β V0 ΔT = 27e-6 × 3500 × (-40)

Расчёт

• ΔV = -27e-6 × 3500 × 40 = -27e-6 × 140000 = -3.78 cm^3
• Новая вместимость ≈ 3500 - 3.78 ≈ 3496.22 cm^3

Ответ: вместимость уменьшается примерно на 3.8 cm^3 (до ≈ 3496.2 cm^3).

Итог

• 1. ΔT ≈ 37–38 °C
• 2. ΔA ≈ +50.4 cm^2 (A ≈ 8450.4 cm^2)
• 3. V ≈ 805.8 cm^3
• 4. ΔV ≈ +20.7 cm^3 (V ≈ 4209.5 cm^3)
• 5. ΔV ≈ -3.8 cm^3 (V ≈ 3496.2 cm^3)

Если хотите, могу перепроверить с другими значениями α и E (например для конкретного типа стали или стекла) или привести расчеты в форматах, удобных для контрольной работы.