Длина диагонали куба АВСЛА1В1С1Д1 равна 3. На луче А1С отмечена точка Р так, что А1Р=4. а) Докажите, что РВДС1 - правильный тетраэдр. б) Найдите длину отрезка АР
Задача работает в следующей модели: куб со сторонами a, вершины нижнего квадрата A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0); вершины верхнего квадрата A1(0,0,a), B1(a,0,a), C1(a,a,a), D1(0,a,a). Ограничим параметры так, чтобы легко посчитать.
Найдём сторону куба Длина пространственной диагонали куба равна a√3 и дана как 3, значит a√3 = 3 → a = √3.
Координаты точки P Луч A1C задаётся направлением C − A1 = (a,a,−a). Длина от A1 до C равна |A1C| = a√3 = 3. Т.к. A1P = 4 на той же прямой, параметр длины относительно A1C равен 4/|A1C| = 4/3. Therefore P = A1 + (4/3)(C − A1) = (0,0,a) + (4/3)(a,a,−a) = ( (4/3)a, (4/3)a, −(1/3)a ). С учётом a = √3: P = ( (4/3)√3, (4/3)√3, −(1/3)√3 ).
Доказательство, что РВДС1 — правильный тетраэдр (PB D C1) Вычислим все попарные расстояния между вершинами тетраэдра P, B, D, C1.
Рассчитаем длины сторон куба: BD = √(a^2 + a^2) = a√2, BC1 = √(0^2 + a^2 + a^2) = a√2, DC1 = √(a^2 + 0^2 + a^2) = a√2. При a = √3 получаем BD = BC1 = DC1 = √6.
Теперь расстояния от P до B, D, C1: PB^2 = (a − (4/3)a)^2 + (0 − (4/3)a)^2 + (0 − (−(1/3)a))^2 = (−(1/3)a)^2 + (−(4/3)a)^2 + (1/3 a)^2 = (1/9 + 16/9 + 1/9)a^2 = (18/9)a^2 = 2a^2. PD^2 = (0 − (4/3)a)^2 + (a − (4/3)a)^2 + (0 − (−(1/3)a))^2 = (−4/3 a)^2 + (−1/3 a)^2 + (1/3 a)^2 = (16/9 + 1/9 + 1/9)a^2 = 2a^2. PC1^2 = (a − (4/3)a)^2 + (a − (4/3)a)^2 + (a − (−1/3)a)^2 = (−1/3 a)^2 + (−1/3 a)^2 + (4/3 a)^2 = (1/9 + 1/9 + 16/9)a^2 = 2a^2.
Значит PB = PD = PC1 = √(2a^2) = a√2 = √6.
Так же как и BD, BC1, DC1 равны √6. Следовательно все шесть ребер тетраэдра P−B−D−C1 равны √6, то есть вершины образуют правильный тетраэдр.
- Найдём длину AR (AP) AP^2 = ( (4/3)a )^2 + ( (4/3)a )^2 + ( −(1/3)a )^2 = (16/9 + 16/9 + 1/9) a^2 = (33/9) a^2 = (11/3) a^2. При a = √3 имеем AP^2 = (11/3)·3 = 11, значит AP = √11.
Ответы:
- Пункт a) РВДС1 образует правильный тетраэдр (его ребра равны √6).
- Пункт b) AP = √11.
