докажите что в треугольнике abc медиана am меньше полусуммы сторон ab и ac
Задача: в треугольнике ABC медиана AM к стороне BC удовлетворяет AM < (AB + AC)/2. M — середина BC.
Обозначения: обозначим AB = c, AC = b, BC = a. Тогда AM — медиана к стороне a, BM = CM = a/2.
- Применим теорему Апполония (или приведем её быстро): AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2).
Подставим BM = a/2: AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + (a/2)^2) = 2AM^2 + a^2/2.
Отсюда AM^2 = (AB^2 + AC^2)/2 − a^2/4 = (b^2 + c^2)/2 − a^2/4.
- Сравним AM и (AB + AC)/2. Так как обе стороны положительны, достаточно проверить неравенство по квадратам: AM^2 < (AB + AC)^2 / 4.
Подставляем выражение для AM^2: (2b^2 + 2c^2 − a^2)/4 < (b + c)^2 / 4.
Упростим: 2b^2 + 2c^2 − a^2 < b^2 + 2bc + c^2 ⇔ b^2 + c^2 − a^2 − 2bc < 0 ⇔ (b − c)^2 < a^2.
Что означает (b − c)^2 < a^2? Это эквивалентно |b − c| < a. В любом невырожденном треугольнике выполняется неравенство a > |b − c| (разность двух сторон меньше третьей стороны). Следовательно, (b − c)^2 < a^2 верно строго.
Значит AM^2 < (b + c)^2 / 4, откуда AM < (AB + AC)/2. Равенство возможно только в вырожденном треугольнике (когда a = |b − c|), что не относится к нормальной треугольной задаче.
Ответ: в любом невыраженном треугольнике AM меньше полусуммы сторон AB и AC.
