Ниже я привожу подробные пошаговые решения для каждого пункта. Цель: понять principe решения и методы (подстановка, сложение, факторизация и пр.).
- Система
2x^2 + y = 9
3x^2 - y = 11
- Складываем две уравнения: (2x^2 + y) + (3x^2 - y) = 9 + 11
5x^2 = 20 ⇒ x^2 = 4 ⇒ x = ±2.
- Находим y из первого уравнения: y = 9 - 2x^2. При x^2 = 4 получаем y = 9 - 8 = 1.
- Проверяем во втором уравнении: 3x^2 - y = 3·4 - 1 = 12 - 1 = 11, что верно.
Ответ: (x, y) = (2, 1) и (-2, 1).
- Система
3x^2 + y = 4
2x^2 - y = 1
- Складываем: (3x^2 + y) + (2x^2 - y) = 4 + 1
5x^2 = 5 ⇒ x^2 = 1 ⇒ x = ±1.
- Находим y из первого уравнения: y = 4 - 3x^2. При x^2 = 1 получается y = 4 - 3 = 1.
- Проверяем во втором: 2x^2 - y = 2·1 - 1 = 1, верно.
Ответ: (x, y) = (1, 1) и (-1, 1).
- Система
4x^2 - 5x = y
8x - 10 = y
- Приравниваем правые части: 4x^2 - 5x = 8x - 10
4x^2 - 13x + 10 = 0.
- Дискриминант: D = (-13)^2 - 4·4·10 = 169 - 160 = 9.
- x = [13 ± 3] / (2·4) = [13 ± 3] / 8.
x1 = 16/8 = 2; x2 = 10/8 = 5/4.
- Найдём y из y = 8x - 10:
для x = 2: y = 16 - 10 = 6;
для x = 5/4: y = 8·(5/4) - 10 = 10 - 10 = 0.
Ответ: (2, 6) и (5/4, 0).
- Система
4x^2 - 3x = y
8x - 6 = y
- Приравниваем правые части: 4x^2 - 3x = 8x - 6
4x^2 - 11x + 6 = 0.
- Дискриминант: D = (-11)^2 - 4·4·6 = 121 - 96 = 25.
- x = [11 ± 5] / (2·4) = [11 ± 5] / 8.
x1 = 16/8 = 2; x2 = 6/8 = 3/4.
- Найдём y из y = 8x - 6:
для x = 2: y = 16 - 6 = 10;
для x = 3/4: y = 8·(3/4) - 6 = 6 - 6 = 0.
Ответ: (2, 10) и (3/4, 0).
- Система
3x^2 + 2y^2 = 50
12x^2 + 8y^2 = 50x
- Выразим y^2 через x^2 из первого уравнения:
2y^2 = 50 - 3x^2 ⇒ y^2 = 25 - (3/2)x^2.
- Подставим во второе уравнение (разделим на 2: 6x^2 + 4y^2 = 25x):
6x^2 + 4[25 - (3/2)x^2] = 25x
6x^2 + 100 - 6x^2 = 25x ⇒ 100 = 25x ⇒ x = 4.
- Найдём y^2 из первого: 3x^2 + 2y^2 = 50 → 3·16 + 2y^2 = 50 → 48 + 2y^2 = 50 → 2y^2 = 2 → y^2 = 1 → y = ±1.
Ответ: (x, y) = (4, 1) и (4, -1).
- Система
5x^2 + y^2 = 36
10x^2 + 2y^2 = 36x
- Обозначим A = x^2, B = y^2. Тогда:
5A + B = 36 …(1)
10A + 2B = 36x …(2)
- Умножим (1) на 2: 10A + 2B = 72.
- Сопоставим с (2): 36x = 72 ⇒ x = 2.
- Тогда A = x^2 = 4. Из (1): 5·4 + B = 36 ⇒ 20 + B = 36 ⇒ B = 16 ⇒ y^2 = 16 ⇒ y = ±4.
Ответ: (x, y) = (2, 4) и (2, -4).
- Уравнение
(3x)/(x+3) - 42/(x^2-9) = 1 + 7/(3 - x)
- Домены: x ≠ -3, x ≠ 3.
- Приведём левую часть к общему знаменателю (x^2 - 9):
3x/(x+3) = 3x(x-3)/(x^2-9) → L = [3x(x-3) - 42] / (x^2 - 9) = [3x^2 - 9x - 42] / (x^2 - 9)
= 3(x^2 - 3x - 14)/(x^2 - 9) = 3(x-7)(x+2)/[(x-3)(x+3)].
- Правая часть: 1 + 7/(3 - x) = 1 - 7/(x-3) = (x-3)/(x-3) - 7/(x-3) = (x-10)/(x-3).
- Уравнение становится:
3(x-7)(x+2)/[(x-3)(x+3)] = (x-10)/(x-3).
- Умножим на (x-3) (x ≠ 3): 3(x-7)(x+2)/(x+3) = x - 10.
- Затем умножим на (x+3): 3(x-7)(x+2) = (x - 10)(x + 3).
- Раскроем и уравняем:
3(x^2 - 5x - 14) = x^2 - 7x - 30
3x^2 - 15x - 42 = x^2 - 7x - 30
2x^2 - 8x - 12 = 0
x^2 - 4x - 6 = 0.
- Решение квадратного уравнения:
x = [4 ± sqrt(16 + 24)]/2 = [4 ± sqrt(40)]/2 = 2 ± sqrt(10).
- Проверяем: оба значения не равны -3 или 3, следовательно подходят.
Ответ: x = 2 + sqrt(10) и x = 2 - sqrt(10).
- Уравнение
3/(x^2 + 4x) - 15/(x^2 - 4x) = 4/x
- Домены: x ≠ 0, x ≠ -4, x ≠ 4.
- Введём упрощение по факторизации: x^2 + 4x = x(x+4), x^2 - 4x = x(x-4).
3/[x(x+4)] - 15/[x(x-4)] = 4/x.
- Вынесем 1/x за скобку (при x ≠ 0):
(1/x)[ 3/(x+4) - 15/(x-4) ] = 4/x.
- Умножим обе части на x (x ≠ 0): 3/(x+4) - 15/(x-4) = 4.
- Приведём левую часть к общему знаменателю (x+4)(x-4):
[3(x-4) - 15(x+4)] / [(x+4)(x-4)] = 4
[3x - 12 - 15x - 60] / (x^2 - 16) = 4
(-12x - 72)/(x^2 - 16) = 4.
- Упростим: -12(x + 6)/(x^2 - 16) = 4 ⇒ -12(x + 6) = 4(x^2 - 16) ⇒ -12x - 72 = 4x^2 - 64.
- Перенесём все в одну сторону: 0 = 4x^2 - 64 + 12x + 72 = 4x^2 + 12x + 8.
- Поделим на 4: x^2 + 3x + 2 = 0 → (x + 1)(x + 2) = 0.
- Следовательно, x = -1 или x = -2. Оба значения удовлетворяют домену (не равны 0, -4, 4).
Ответ: x = -1 и x = -2.
Если нужна дополнительная проверка или вариации методов решения — скажи, могу привести альтернативные подходы к любому пункту.
