2sinxcosx+√2sinx-2sin²x-√2cosx

Цель: понять и упростить выражение 2sinxcosx + √2 sin x - 2 sin²x - √2 cos x, и при нужде найти корни.

Пошаговое решение

1. Первая попытка упростить/собрать по группам

• Запишем выражение так: 2 sin x cos x - 2 sin²x + √2 sin x - √2 cos x.
• Заметим, что можно вынести по группам:
  • 2 sin x cos x - 2 sin²x = 2 sin x (cos x - sin x)
  • √2 sin x - √2 cos x = √2 (sin x - cos x)
• Соответственно, E = 2 sin x (cos x - sin x) + √2 (sin x - cos x).

2. Факторизация

• Заметим, что cos x - sin x = -(sin x - cos x). Поэтому можно вынести общий множитель (sin x - cos x): E = (sin x - cos x)(-2 sin x + √2) = (sin x - cos x)(√2 - 2 sin x).

Итого получено факторизованное представление:

• E = (sin x - cos x)(√2 - 2 sin x).

3. Альтернативные представления (для понимания)

• sin x - cos x можно записать как √2 sin(x - π/4) (одна из стандартных преобразований), но это не обязательно для дальнейших шагов.

4. Решение уравнения E = 0 (если нужно найти корни)

• Уравнение E = 0 эквивалентно (sin x - cos x)(√2 - 2 sin x) = 0.

Разбираем случаи по множителям:

• Множитель 1: sin x - cos x = 0 → tan x = 1 → x = π/4 + kπ, где k ∈ Z.

• Множитель 2: √2 - 2 sin x = 0 → sin x = √2/2 → x = π/4 + 2kπ или x = 3π/4 + 2kπ, где k ∈ Z.

Полный набор корней (если требуется):

• x ∈ { π/4 + kπ, k ∈ Z } ∪ { π/4 + 2kπ, 3π/4 + 2kπ, k ∈ Z }.

Примеры проверки:

• Пусть x = π/4: sin x = cos x = √2/2. Тогда E = 0.
• Пусть x = 3π/4: sin x = √2/2, cos x = -√2/2. Тогда E = 0.

Коротко: исходное выражение можно легко привести к виду (sin x - cos x)(√2 - 2 sin x); это и есть упрощение/разложение на множители, что удобно для анализа корней.