Ужо-устаревшее наречие. Есть ли здесь сказуемое?

Коротко: здесь нет сказуемого.

Длинно по шагам:

• Фраза: "Ужо-устаревшее наречие" представляет собой словосочетание, где основа — существительное наречие (род. падеж: именительный, единственное число).
• "Ужо-устаревшее" — определение к слову "наречие". Это согласованное определение (прилагательное/причастие) в нейтральном единственном числе, согласованное со словом "наречие".
• Сказуемое — это часть предложения, обычно глагол или сочетание с глаголом-связкой (например, "есть", "является"). В этой фразе глагола нет, поэтому это не предложение с сказуемым, а словосочетание.

Если превратить в предложение, тогда появится сказуемое, например:

• Это устаревающее наречие. (связочное "есть/является" опущено)
• Ужо-устаревшее наречие встречается в тексте. (сказуемое: встречается)

Итак, ответ: нет, здесь нет сказуемого. Это словосочетание: определение + существительное.